Упражнение 815 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Составим уравнение:

\(1,5 + \frac12 + \frac{225 - 1,5x}{x + 10}=\frac{225}{x}\)

\(1,5 + 0,5 + \frac{225 - 1,5x}{x + 10}=\frac{225}{x}\)

\(2 + \frac{225 - 1,5x}{x + 10}=\frac{225}{x}\)  \(/\times x(x+10)\)

ОДЗ: \(x\neq0\)   и   \(x + 10\neq 0\)

                            \(x\neq-10\)

\(2x(x+10) + x(225 -1,5x) = 225(x+10)\)

\(2x^2 +20x +225x -1,5x^2 = 225x + 2250\)

\(0,5x^2 +245x = 225x + 2250\)

\(0,5x^2 +245x - 225x - 2250=0\)

\(0,5x^2 +20x - 2250=0\)   \(/\times2\)

\(x^2 + 40x -4500 = 0\)

\(a = 1\),  \(b =40\),  \(c = -4500\)

\(D = 40^2 - 4 \cdot1 \cdot (-4500) =\)

\(=1600 + 18000 = 19600\),

\(\sqrt{D} = 140.\)

\( x_1 = \frac{-40 + 140}{2\cdot1} =\frac{100}{2}= 50\).

\( x_2 = \frac{-40 - 140}{2\cdot1} =\frac{-180}{2} = -90\) - не удовлетворяет условию.

Ответ: первоначальная скорость теплохода равна 50 км/ч.

Пояснения:

Время в пути вычисляется по формуле \[t=\frac{S}{v}.\]

Мы обозначили первоначальную скорость теплохода \(x\) км/ч, тогда плановое время пути рассчитывается как \(\frac{225}{x}\). Так как теплоход задержался, он компенсировал потерю времени, увеличив скорость. Составили дробное рациональное уравнение по времени: фактическое время (учитывая задержку и изменение скорости) должно совпадать с плановым:

\(1,5 + \frac12 + \frac{225 - 1,5x}{x + 10}=\frac{225}{x}\).

Алгоритм решения дробного рационального уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

После того как обе части уравнения домножили на общий знаменатель и выполнили преобразования, получили квадратное уравнение, у которого дискриминант \(D = b^2 - 4ac>0\), поэтому уравнение имеет два корня: \(50\) и \(-90\). Но отрицательный корень не подходит, так как скорость может принимать только положительные значения. Значит, первоначальная скорость теплохода равна 50 км/ч.

а) \(x \geq -2\)

б) \(x \leq 3\)

в) \(x > 8\)

г) \(x < -5\)

д) \(x > 0{,}3\)

е) \(x \leq -8{,}1\)

Пояснения:

а) \(x \geq -2\). Значит, точка -2 закрашена, и решение идёт вправо: \([-2; +\infty)\).

б) \(x \leq 3\). Значит, точка 3 закрашена, и решение идёт влево: \((-\infty; 3]\).

в) \(x > 8\). Точка 8 пустая, решение идёт вправо: \((8; +\infty)\).

г) \(x < -5\). Точка -5 пустая, решение идёт влево: \((-\infty; -5)\).

д) \(x > 0{,}3\). Точка 0,3 пустая, решение идёт вправо: \((0,3; +\infty)\).

е) \(x \leq -8{,}1\). Точка -8,1 закрашена, решение идёт влево: \((-\infty; -8,1]\).