Упражнение 703 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\begin{cases} x = 3 - y, \\ y^2 - x = 39 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x = 3 - y, \\ y^2 - (3-y) = 39 \end{cases}\)

\(y^2 - (3-y) = 39 \)

\(y^2 - 3 + y - 39=0\)

\( y^2 + y - 42 = 0 \)

\(a = 1\),  \(b= 1\),  \(c = -42\)

\(D = b^2 -4ac = 1^2 - 4\cdot1\cdot(-42)=\)

\(=1 + 168 = 169\),    \(\sqrt D = 13\).

\(y_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\)

\(y_1= \frac{-1+ 13}{2\cdot1}=\frac{12}{2} = 6\).

\(y_2= \frac{-1- 13}{2\cdot1}=\frac{-14}{2} = -7\).

 \(x_1 = 3 - 6 = -3\).

\(x_2 = 3 - (-7) = 3 + 7 = 10\).

Ответ: \((-3;6)\), \((10;-7)\).

б) \(\begin{cases} y = 1 + x, \\ x + y^2 = -1; \end{cases}\)

\(\begin{cases} y = 1 + x, \\ x + (1+x)^2 = -1; \end{cases}\)

\( x + (1+x)^2 = -1 \)

\(x + x^2 + 2x + 1 + 1=0 \)

\(x^2 + 3x + 2 = 0 \)

\(a = 1\),  \(b= 3\),  \(c = 2\)

\(D = b^2 -4ac =3^2 - 4\cdot1\cdot2=\)

\( = 9 - 8 = 1 \),    \(\sqrt D = 1\).

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\)

\(x_1= \frac{-3+ 1}{2\cdot1}=\frac{-2}{2} = -1\).

\(x_2= \frac{-3 - 1}{2\cdot1}=\frac{-4}{2} = -2\).

\(y_1 = 1 + (-1) = 0\)

\(y_2 = 1 + (-2) = -1\).

Ответ: \((-1; 0)\),  \((-2; -1)\).

в) \(\begin{cases} x^2 + y = 14, \\ y - x = 8 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x^2 + (x+8) = 14, \\ y = x + 8 \end{cases}\)

\( x^2 + (x+8) = 14\)

\(x^2 + x + 8 - 14=0\)

\(x^2 + x - 6 = 0 \)

\(a = 1\),  \(b= 1\),  \(c = -6\)

\(D = b^2 -4ac =1^2 - 4\cdot1\cdot(-6)=\)

\(=1 + 24 = 25\),    \(\sqrt D = 5\).

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\)

\(x_1= \frac{-1+ 5}{2\cdot1}=\frac{4}{2} = 2\).

\(x_2= \frac{-1- 5}{2\cdot1}=\frac{-6}{2} = -3\).

\(y_1 = 2 + 8 = 10\).

\(y_2 = -3 + 8 = 5\)

Ответ: \((2;10)\), \((-3;5)\).

г) \(\begin{cases} x + y = 4, \\ y + xy = 6. \end{cases}\)

\(\begin{cases} y = 4 - x, \\ y + x(4-x) = 6. \end{cases}\)

\( (4 - x) + x(4 - x) = 6 \)

\( 4 - x + 4x - x^2 - 6=0\)

\( -x^2 + 3x - 2 = 0 \)    \(/\times (-1)\)

\( x^2 - 3x + 2 = 0 \)

\(a = 1\),  \(b= -3\),  \(c = 2\)

\(D = b^2 -4ac =(-3)^2 - 4\cdot1\cdot 2 =\)

\(=9 - 8 = 1\),    \(\sqrt D = 1\).

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\)

\(x_1= \frac{-(-3)+ 1}{2\cdot1}=\frac{4}{2} = 2\).

\(x_1= \frac{-(-3)- 1}{2\cdot1}=\frac{2}{2} = 1\).

\(y_1 = 4-2 = 2\).

\(y_2 = 4 - 1 = 3\).

Ответ: \((1;3)\), \((2;2)\).

Пояснения:

Метод подстановки:

1) выражают из уравнения первой степени одну переменную через другую;

2) подставляют полученное выражение в уравнение второй степени, в результате чего приходят к уравнению с одной переменной;

3) решают получившиеся уравнение с одной переменной;

4) находят соответствующие значения второй переменной.

Количество корней полного квадратного уравнения

\(ax^2 + bx + c = 0\) зависит от дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\):

- если \(D>0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt D}{2a}\).

- если \(D = 0\), то уравнение имеет один корень:

\(x = -\frac{b}{2a}\).

- если \(D < 0\), то уравнение не имеет корней.

а) Выразили \(x=3-y\), подставили во второе уравнение, получили квадратное уравнение по \(y\), нашли два решения, после чего нашли соответствующие \(x\).

б) Выразили \(y=1+x\), подставили во второе уравнение, получилось квадратное уравнение по \(x\), нашли два решения, после чего нашли соответствующие \(x\).

При преобразовании уравнения использовали формулу квадрата суммы двух выражений:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).

в) Выразили \(y=x+8\), подставили в первое уравнение, получили квадратное уравнение по \(x\), нашли два корня и соответствующие значения \(y\).

г) Выразили \(y=4-x\), подставили во второе уравнение, получили квадратное уравнение по \(x\), нашли два корня и соответствующие значения \(y\).

Пусть скорость течения в реке: \(x\) км/ч, тогда скорость течения в притоке:

\(x+1\) км/ч.

\(\frac{35}{10-x} + \frac{18}{10-(x+1)}=8\)

\(\frac{35}{10-x} + \frac{18}{10-x-1}=8\)

\(\frac{35}{10-x} + \frac{18}{9-x}=8\) \(/\times (10-x)(9-x)\)

ОДЗ: \(10 - x \neq 0\)   и  \(9 - x \neq0\)

          \(x \neq 10\)             \(x \neq 9\)

\(35(9-x) + 18(10 - x) = 8(10-x)(9-x)\)

\( 315 - 35x + 180 - 18x = 8(90 - 10x - 9x + x^2)\)

\( 495 - 53x = 720 - 80x -72x+ 8x^2\)

\( 495 - 53x - 720 + 80x + 72x - 8x^2 = 0\)

\(-8x^2 + 99x -225 = 0\)   \(/\times (-1)\)

\(8x^2 - 99x + 225 = 0\)

\(a = 8\),  \(b = -99\),  \(c = 225\)

\(D = b^2 - 4ac = \)

\(=(-99)^2 - 4\cdot8 \cdot 225 =\)

\(=9801- 7200 = 2601\),   \(\sqrt D = 51\)

\( x_1 = \frac{-(-99) + 51}{2\cdot8} = \frac{150}{16} =\frac{75}{8} =\)

\(=9\frac{3}{8}\) - не удовлетворяет условию.

\( x_2 = \frac{-(-99) - 51}{2\cdot8} = \frac{48}{16} = 3\).

Ответ: скорость течения в реке равна 3 км/ч.

Пояснения:

Время в пути вычисляется по формуле \[t=\frac{S}{v}.\]

Мы обозначили скорость течения в реке \(x\) км/ч. Тогда в притоке она на 1 больше, то есть \(x+1\). По условию задачи составили дробное рациональное уравнение:

\(\frac{35}{10-x} + \frac{18}{10-(x+1)}=8\).

Алгоритм решения дробного рационального уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

После того как обе части уравнения домножили на общий знаменатель и выполнили преобразования, получили квадратное уравнение, у которого дискриминант \(D = b^2 - 4ac>0\), поэтому уравнение имеет два корня: \(9\frac{3}{8}\) и \(3\). Но значение скорости течения в реке не может быть равно \(9\frac{3}{8}\) км/ч, так как в таком случае скорость лодки в притоке будет отрицательным числом, чего не может быть (скорость может принимать только положительные значения). Значит, скорость течения в реке равна \(3\) км/ч.