Упражнение 606 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Квадратный трехчлен:

\(ax^2 + bx + c\).

Составим систему:

\( \begin{cases} a+b+c=0,\\ c=4a \end{cases} \)

\( \begin{cases} a+b+4a=0,\\ c=4a \end{cases} \)

\(a+b+4a=0\)

\(5a + b = 0\)

\(b = -5a\)

\(ax^2 + bx + c = 0\)

\(ax^2 - 5ax + 4a =0\)   \(/ : a\)

\(x^2 - 5x + 4 =0\)

\(a = 1\),  \(b = -5\),  \( c = 4\)

\(D=b^2 - 4ac= (-5)^2 - 4\cdot1\cdot4 =\)

\(=25 - 16 =9\),    \(\sqrt D = 3\).

\(x_{1,2}= \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\(x_{1}=\dfrac{-(-5)+3}{2\cdot1}=\dfrac82=4\).

\(x_{2}=\dfrac{-(-5)-3}{2\cdot1}=\dfrac22=1\).

Ответ: \(4;   1\).

Пояснения:

Рассматриваем квадратный трехчлен:

\(ax^2 + bx + c\).

Сумма коэффициентов квадратного трёхчлена равна нулю, а его свободный член в 4 раза больше старшего коэффициента. Поэтому можем составить систему уравнений:

\( \begin{cases} a+b+c=0,\\ c=4a \end{cases} \)

Способом подстановки из первого уравнения системы получаем:

\(b = -5a\).

Значение переменной, при котором трехчлен обращается в нуль, называют корнем трехчлена.

\(ax^2 + bx + c = 0\).

Учитывая то, что \(b = -5a\), \(c = 4a\), получим:

\(ax^2 - 5ax + 4a =0\).

Корни уравнения не изменяются, если обе части уравнения разделить на одно и то же число. Поэтому обе части уравнения разделим на \(a\), получим:

\(ax^2 - 5ax + 4a =0\).

Вычисляем дискриминант 

\(D=b^2 - 4ac\) полученного уравнения и находим два корня:

\(x_{1}=4\) и \(x_{2}=1\).

а) \(\frac{3y+9}{3y-1}+\frac{2y-13}{2y+5}=2 \)  \(/\times(3y-1)(2y+5)\)

ОДЗ: \(3y-1\neq0\)  и  \(2y+5\neq0\)

         \(3y\neq1\)              \(2y\neq-5\)

         \(y\ne \dfrac13\)               \(y\neq-\dfrac52=-2,5\).

\((3y+9)(2y+5)+(2y-13)(3y-1)=2(3y-1)(2y+5)\)

\(6y^2+15y+18y+45 + 6y^2-2y-39y+13 = 2(6y^2+15y-2y-5)\)

\(12y^2-8y+58=12y^2+30y-4y-10\)

\(\cancel{12y^2} - 8y - \cancel{12y^2}-30y+4y = -10-58\)

\(-34y = -68\)

\(y = \frac{-68}{-34}\)

\(y = 2\)

Ответ: \(2\).

б) \(\frac{5y+13}{5y+4}-\frac{4-6y}{3y-1}=3\) \(/\times(5y+4)(3y-1)\)

ОДЗ: \(5y+4\neq0\)  и  \(3y-1\neq0\)

         \(5y\neq-4\)          \(3y\neq1\)

         \(y\ne -\dfrac45\)           \(y\neq\dfrac13\).

\((5y+13)(3y-1)-(4-6y)(5y+4)=3(5y+4)(3y-1)\)

\(15y^2-5y+39y-13-(20y+16-30y^2-24y) = 3(15y^2-5y+12y-4)\)

\(15y^2-5y+39y-13-20y-16+30y^2+24y = 45y^2-15y+36y-12\)

\(45y^2+38y-29 = 45y^2+21y-12\)

\(\cancel{45y^2}+38y- \cancel{45y^2}-21y=-12+29\)

\(17y = 17\)

\(y = 1\)

Ответ: \(1\).

в) \(\frac{y+1}{y-5}+\frac{10}{y+5}=\frac{y+1}{y-5}\cdot\frac{10}{y+5}\) \(/\times(y-5)(y+5)\)

ОДЗ: \(y-5 \neq0\)  и  \(y +5\neq0\)

          \(y\neq 5\)            \(y\neq -5\)

\((y+1)(y+5)+10(y-5)=10(y+1)\)

\(y^2 + 5y+y+5 + 10y - 50 = 10y + 10\)

\(y^{2}+16y-45=10y+10\)

\(y^{2}+16y-45-10y-10=0\)

\(y^{2}+6y-55=0\)

\(a = 1\),  \(b = 6\),  \(c = -55\)

\(D = b^2 - 4ac =6^2 - 4\cdot1\cdot(-55)=\)

\(=36+220 = 256\),    \(\sqrt D = 16\).

\( y_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\).

\( y_1 = \frac{-6+16}{2\cdot1}=\frac{10}{2}=5\) - не подходит по ОДЗ.

\( y_2 = \frac{-6-16}{2\cdot1}=\frac{-22}{2}=-11\).

Ответ: \(-11\).

г) \(\frac{6}{y-4}-\frac{y}{y+2}=\frac{6}{y-4}\cdot\frac{y}{y+2}\) \(/\times(y-4)(y+2)\)

ОДЗ: \(y - 4\neq0\)  и  \(y + 2\neq0\)

         \(y\neq 4\)             \(y\neq-2\)

\(6(y+2)-y(y-4)=6y\)

\(6y+12-y^{2}+4y=6y\)

\(\cancel{6y}+12-y^{2}+4y-\cancel{6y}=0\)

\(-y^2+4y +12 =0\)  \(/\times(-1)\)

\( y^{2}-4y-12=0\)

\(a = 1\),  \(b = -4\),  \(c = -12\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-4)^2 - 4\cdot1\cdot(-12)=\)

\(=16+48 = 64\),    \(\sqrt D = 8\).

\( y_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\).

\( y_1 = \frac{-(-4)+8}{2\cdot1}=\frac{12}{2}=6\).

\( y_2 = \frac{-(-4)-8}{2\cdot1}=\frac{-4}{2}=-2\) - не подходит по ОДЗ.

Ответ: \(6\).

Пояснения:

Алгоритм решения уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

Решение целых уравнений:

1) Полное квадратное уравнение \(ax^2 + bx + c=0\), которое решается через дискриминант \(D = b^2-4ac\).

– если \(D>0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\);

\(x_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\).

– если \(D=0\), то уравнение имеет один корень:

\(x =-\frac{b}{2a}\).

– если \(D<0\), то уравнение не имеет корней.

2) Линейное уравнение вида \(ax = b\), которое при \(a\neq0\) имеет единственный корень \(x = \frac{b}{a}\).

Раскрытие скобок:

\(a(b + c) = ab + ac\);

\((a + b)(c -d) = ac - ad + bc -bd\).