Упражнение 602 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(x^{2}+x-6=0\)

\(a = 1\),  \(b = 1\),  \(c =6\)

\(D=b^2 - 4ac=1^{2}-4\cdot1\cdot(-6)=\)

\(=1+24=25\),   \(\sqrt D = 5\).

\(x_{1,2}= \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\(x_1=\dfrac{-1+5}{2\cdot1}=\dfrac{4}{2}=2\).

\(x_{2}=\dfrac{-1-5}{2\cdot1}=\dfrac{-6}{2}=-3\).

Ответ: \(2;   -3\).

б) \(9x^{2}-9x+2=0\)

\(a = 9\),  \(b = -9\),  \(c =2\)

\(D=b^2 - 4ac=(-9)^{2}-4\cdot9\cdot2=\)

\(=81-72=9\),     \(\sqrt D = 3\).

\(x_{1,2}= \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\(x_{1}=\dfrac{-(-9)+3}{2\cdot9}=\dfrac{12}{18}=\dfrac{2}{3}\).

\(x_{2}=\dfrac{-(-9)-3}{2\cdot9}=\dfrac{6}{18}=\dfrac{1}{3}\).

Ответ: \(\dfrac{2}{3};  \dfrac{1}{3}\).

в) \(0{,}2x^{2}+3x-20=0\)    \(/\times5\)

\(x^{2}+15x-100=0\)

\(a = 1\),  \(b = 15\),  \(c =-100\)

\(D=b^2 - 4ac=\)

\(=15^{2}-4\cdot1\cdot(-100)=\)

\(=225+400=625\),    \(\sqrt D = 25\).

\(x_{1,2}= \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\(x_{1}=\dfrac{-15 + 25}{2\cdot1}=\dfrac{10}{2}=5\).

\(x_{2}=\dfrac{-15 - 25}{2\cdot1}=\dfrac{-40}{2}=-20\).

Ответ: \(5;   -20\).

г) \(-2x^{2}-x-0{,}125=0\)  \(/\times(-8)\)

\(16x^{2}+8x+1=0\)

\(a = 16\),  \(b = 8\),  \(c =1\)

\(D=b^2 - 4ac=8^{2}-4\cdot16\cdot1=\)

\(=64-64=0\).

\(x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{\cancel8^1}{2\cdot\cancel{16}_2}=-\dfrac{1}{4}\).

Ответ: \(-\dfrac{1}{4}\).

д) \(0{,}1x^{2}+0{,}4=0\)    \(/\times10\)

\(x^{2}+4=0\)

\(x^{2}=-4\) — корней нет.

Ответ: корней нет.

е) \(-0{,}3x^{2}+1{,}5x=0\)   \(/\times(-10)\)

\(3x^{2}-15x=0\)

\(3x(x-5)=0\)

\(x=0\) или \(x-5=0\)

                  \(x = 5\)

Ответ: \(0,   5\).

---

Пояснения:

Значение переменной, при котором трехчлен обращается в нуль, называют корнем трехчлена.

Использованные правила:

1) Корни уравнения не изменяются, если обе части уравнения умножить или разделить на дои то же число.

2) Количество корней квадратного уравнения \(ax^2+bx+c=0\) зависит от дискриминанта. Формула дискриминанта:

\(D=b^2-4ac\).

– если \(D>0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\);

\(x_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\).

– если \(D=0\), то уравнение имеет один корень:

\(x =-\frac{b}{2a}\).

– если \(D<0\), то уравнение не имеет корней.

3) В пункте д) неполное квадратное уравнение вида \(ax^2 = b\), которое не имеет корней, так как его корни \(x_{1,2} = \pm\sqrt{\frac{b}{a}}\), а арифметический корень имеет смысл только тогда, когда подкоренное выражение неотрицательно.

4) В пункте е) неполное квадратное уравнение, которое решается разложением на множители, учитывая то, что произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

а) \(\dfrac{x^{2}}{x^{2}+1}=\dfrac{7x}{x^{2}+1}\)    \(/\times(x^2+1)\)

ОДЗ: \(x\) - любое число.   

\(x^{2}=7x\)

\(x^{2}-7x=0\)

\(x(x-7)=0\)

\(x=0\)   или   \(x-7=0\)

                       \(x=7\)

Ответ: \(0;   7\).

б) \(\dfrac{y^{2}}{y^{2}-6y}=\dfrac{4(3-2y)}{y(6-y)}\)

\(\dfrac{y^{2}}{-y(6-y)}=\dfrac{4(3-2y)}{y(6-y)}\) \(/\times y(6-y)\)

ОДЗ: \(y\neq0\)  и  \(6-y\neq0\)

                          \(y\neq6\)

\(-y^2 = 12 - 8y\)

\(y^{2}-8y+12=0\)

\(a = 1\),  \(b = -8\),  \(c = 12\)

\(D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4\cdot1\cdot12 =\)

\(=64 - 48 = 16\),   \(\sqrt D = 4\).

\( y_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\).

\( y_1 = \frac{-(-8)+4}{2\cdot1}=\frac{12}{2}=6\) - не подходит по ОДЗ.

\( y_2 = \frac{-(-8)-4}{2\cdot1}=\frac{4}{2}=2\).

Ответ: \(2\).

в) \(\dfrac{x-2}{x+2}=\dfrac{x+3}{x-4}\) \(/\times(x+2)(x-4)\)

ОДЗ: \(x + 2 \neq0\)  и  \(x - 4 \neq0\)

         \(x\neq-2\)           \(x \neq4\)

\((x-2)(x-4)=(x+3)(x+2)\)

\(x^2-4x-2x+8 = x^2+2x+3x+6\)

\(x^{2}-6x+8=x^{2}+5x+6\)

\(\cancel{x^{2}}-6x-\cancel{x^{2}}-5x=6-8\)

\(-11x=-2\)

\(x=\dfrac{2}{11}\)

Ответ: \(\dfrac{2}{11}\).

г) \(\dfrac{8y-5}{y}=\dfrac{9y}{y+2}\)   \(/\times y(y+2)\)

ОДЗ: \(y\neq0\)  и  \(y +2 \neq0\)

                         \(y\neq-2\)

\((8y-5)(y+2)=9y^{2}\)

\(8y^2+16y-5y-10-9y^2=0\)

\(-y^{2}+11y-10=0\)   \(/\times (-1)\)

\(y^{2}-11y+10=0\)

\(a = 1\),  \(b = -11\),  \(c = 10\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-11)^2 - 4\cdot1\cdot10 =\)

\(=121 - 40 = 81\),   \(\sqrt D = 9\).

\( y_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\).

\( y_1 = \frac{-(-11)+9}{2\cdot1}=\frac{20}{2}=10\).

\( y_2 = \frac{-(-11)-9}{2\cdot1}=\frac{2}{2}=1\).

Ответ: \(10;   1\).

д) \(\dfrac{x^{2}+3}{x^{2}+1}=2\)     \(/\times(x^2+1)\)

ОДЗ: \(x\) - любое число.

\(x^{2}+3=2(x^{2}+1)\)

\(x^{2}+3=2x^{2}+2\)

\(x^{2}+3-2x^{2}-2=0\)

\(-x^2 + 1 = 0\)

\(x^{2}=1\)

\(x_{1,2} = \pm\sqrt1\)

\(x=\pm1.\)

Ответ: \(-1;   1\).

е) \(\dfrac{3}{x^{2}+2}=\dfrac{1}{x}\)     \(/\times (x^2+2)\)

ОДЗ: \(x\) - любое число.

\(3x=x^{2}+2\)

\(x^{2}-3x+2=0\)

\(a = 1\),  \(b = -3\),  \(c = 2\)

\(D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4\cdot1\cdot2 =\)

\(=9 - 8 = 1\),   \(\sqrt D = 1\).

\( x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\).

\( x_1 = \frac{-(-3)+1}{2\cdot1}=\frac{4}{2}=2\).

\( x_2 = \frac{-(-3)-1}{2\cdot1}=\frac{2}{2}=1\).

Ответ: \(2;   1\).

ж) \(x+2=\dfrac{15}{4x+1}\)    \(/\times (4x+1)\)

ОДЗ: \(4x + 1 \neq0\)

         \(4x \neq-1\)

         \(x\neq-\frac14\).

\((x+2)(4x+1)=15\)

\(4x^2 + x+8x+2 -15 = 0\)

\(4x^{2}+9x-13=0\)

\(a = 4\),  \(b = 9\),  \(c = -13\)

\(D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4\cdot4\cdot(-13) =\)

\(=81+ 208 = 289\),   \(\sqrt D = 17\).

\( x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\).

\( x_1 = \frac{-9+17}{2\cdot4}=\frac{8}{8}=1\).

\( x_1 = \frac{-9-17}{2\cdot4}=\frac{-26}{8}=\)

\(=-\frac{13}{4}=-3\frac{1}{4}\).

Ответ: \(1;   -3\frac{1}{4}\).

з) \(\dfrac{x^{2}-5}{x-1}=\dfrac{7x+10}{9}\)  \(/\times 9(x-1)\)

ОДЗ: \(x - 1 \neq0\)

         \(x\neq1\)

\(9(x^{2}-5)=(7x+10)(x-1)\)

\(9x^{2}-45=7x^{2}+10x-7x-10\)

\(9x^{2}-45-7x^{2}-10x+7x+10=0\)

\(2x^{2}-3x-35=0\)

\(a = 2\),  \(b = -3\),  \(c = -35\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-3)^2 - 4\cdot2\cdot(-35) =\)

\(=9 + 280 = 289\),   \(\sqrt D = 17\).

\( x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\).

\( x_1 = \frac{-(-3)+17}{2\cdot2}=\frac{20}{4}=5\).

\( x_2 = \frac{-(-3)-17}{2\cdot2}=\frac{-14}{4}=\)

\(=-\frac{7}{2}=-3,5\).

Ответ: \(5;   -3,5\).

---

Пояснения:

Алгоритм решения уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

Решение целых уравнений:

1) Полное квадратное уравнение \(ax^2 + bx + c=0\), которое решается через дискриминант \(D = b^2-4ac\).

– если \(D>0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\);

\(x_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\).

– если \(D=0\), то уравнение имеет один корень:

\(x =-\frac{b}{2a}\).

– если \(D<0\), то уравнение не имеет корней.

2) Неполное квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx = 0\), которое решается разложением на множители, учитывая то, что произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

3) Линейное уравнение вида \(ax = b\), которое при \(a\neq0\) имеет единственный корень \(x = \frac{b}{a}\).

Раскрытие скобок:

\(a(b + c) = ab + ac\);

\((a + b)(c -d) = ac - ad + bc -bd\).