Упражнение 719 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть было \(x\) л брусничного сока и \(y\) л грушевого сока, тогда \(x + y = 42\). Известно, что брусничного сока было продано в 2,5 раза меньше, чем грушевого, тогда \(y=2,5x\).

Составим систему уравнений:

\( \begin{cases} x+y=42, \\ y=2,5x \end{cases} \)

\( \begin{cases} x+2,5x=42, \\ y=2,5x \end{cases} \)

\(x+2,5x=42\)

\(3,5x = 42\)

\(x = \frac{42}{3,5}\)

\(x = \frac{420}{35}\)

\(x = 12\)

\(y = 2,5\cdot12 = 30\)

Ответ: грушевого сока было продано \(30\) л.

Пояснения:

По условию задачи составили систему из двух уравнений и решили эту систему способом подстановки.

Алгоритм решения системы уравнений способом подстановки:

1) выражают из уравнения первой степени одну переменную через другую;

2) подставляют полученное выражение в уравнение второй степени, в результате чего приходят к уравнению с одной переменной;

3) решают получившиеся уравнение с одной переменной;

4) находят соответствующие значения второй переменной.

Линейное уравнение вида \(ax = b\) при \(a \neq 0\) имеет единственный корень: \(x = \frac{b}{a}\).

Составим уравнение:

\(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+5}= \frac{2}{3} : 4\)

\(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+5} = \frac{\cancel2}{3} \cdot \frac{1}{\cancel4_2}\)

\(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+5} = \frac{1}{6}\)  \(/\times 6x(x+5)\)

ОДЗ: \(x\neq0\)   и   \(x + 5\neq 0\)

                            \(x\neq-5\)

\(6(x + 5) + 6x = x(x+5)\)

\(6x + 30 + 6x = x^2 +5x\)

\(12x + 30 = x^2 +5x\)

\(x^2 + 5x-12x - 30 = 0\)

\(x^2-7x -30 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -7\),  \(c = -30\)

\(D = b^2 - 4ac = \)

\(=(-7)^2 - 4\cdot1\cdot(-30)=\)

\(=49 + 120 = 169\),    \(\sqrt D 13\).

\(x_1 = \frac{-(-7) + 13}{2\cdot1}=\frac{20}{2} = 10\).

\(x_2 = \frac{-(-7) - 13}{2\cdot1}=\frac{-6}{2} = -3\) - не удовлетворяет условию.

1) За \(10\) дней вспашет все поле первый трактор.

2)  \(10+5=15\) (дней) - вспашет все поле второй трактор.

Ответ: первый трактор — 10 дней, второй трактор — 15 дней.

Пояснения:

1. В задаче используется понятие производительности:

\(\text{Работа} = \text{Производительность} \times \text{Время}\).

Если первый трактор пашет за \(x\) дней, то его производительность \(\frac{1}{x}\), второй пашет за \(x+5\), производительность \(\frac{1}{x+5}\).

Совместная работа за 4 дня равна \(\frac{2}{3}\). Следовательно, можем составить дробное рациональное уравнение:

\(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+5}= \frac{2}{3} : 4\)

Алгоритм решения дробного рационального уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

После того как обе части уравнения домножили на общий знаменатель и выполнили преобразования, получили квадратное уравнение, у которого дискриминант \(D = b^2 - 4ac>0\), поэтому уравнение имеет два корня: \(10\) и \(-3\). Но отрицательный корень не подходит, так как время не может быть отрицательным числом.

Значит, первый трактор пашет поле за 10 дней, а второй — за 15 дней, так как первым можно вспахать поле на 5 дней быстрее, чем вторым.