Упражнение 617 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(3x^{2}-24x+21=0\)   \(/ :3\)

\(x^2 - 8x + 7 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -8\),  \(c = 7\)

\(D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4\cdot1\cdot7 = \)

\(=64 - 28 = 36 >0\) - 2 корня.

По теореме, обратной теореме Виета:

\(x_1 + x_2 = 8\)  и  \(x_1 \cdot x_2 = 7\).

\(x_1 = 7\),  \(x_2 = 1\).

\(3x^{2}-24x+21=3(x-1)(x-7)\).

б) \(5z^{2}+10z-15=0\)   \(/ :5\)

\(z^{2}+2z-3=0\)

\(a = 1\),  \(b = 2\),  \(c = -3\)

\(D = b^2 - 4ac =2^2 - 4\cdot1\cdot(-3)=\)

\(=4 + 12 =16 > 0\) - 2 корня.

По теореме, обратной теореме Виета:

\(z_1 + z_2 = -2\)  и  \(z_1 \cdot z_2 = -3\).

\(z_1 = -3\),  \(z_2 = 1\).

\(5z^{2}+10z-15=5(z-1)(z+3)\).

в) \(\frac16x^{2}+\frac12x+\frac13=0\)   \(/\times6\)

\(x^2 +3x +2 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = 3\),  \(c = 2\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=3^2 - 4\cdot1\cdot2=\)

\(=9 - 8 = 1> 0\) - 2 корня.

По теореме, обратной теореме Виета:

\(x_1 + x_2 = -3\)  и  \(x_1 \cdot x_2 = 2\).

\(x_1 = -2\),  \(x_2 = -1\).

\(\frac16x^{2}+\frac12x+\frac13=\frac16(x+1)(x+2)\).

г) \(x^{2}-12x+20=0\)

\(a = 1\),  \(b = -12\),  \(c = 20\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-12)^2 - 4\cdot1\cdot20=\)

\(=144 - 80 = 64 > 0\) - 2 корня.

По теореме, обратной теореме Виета:

\(x_1 + x_2 = 12\)  и  \(x_1 \cdot x_2 = 20\).

\(x_1 = 10\),  \(x_2 = 2\).

\(x^{2}-12x+20=(x-10)(x-2)\).

д) \(-y^{2}+16y-15=0\)   \(/\times(-1)\)

\(y^{2}-16y+15=0\)

\(a = 1\),  \(b = -16\),  \(c = 15\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-16)^2 - 4\cdot1\cdot15=\)

\(=256 -60 = 196 > 0\) - 2 корня.

По теореме, обратной теореме Виета:

\(y_1 + y_2 = 16\)  и  \(y_1 \cdot y_2 = 15\).

\(y_1 = 15\),  \(y_2 = 1\).

\(-y^{2}+16y-15=-(y-1)(y-15)\).

е) \(-t^{2}-8t+9=0\)    \(/\times(-1)\)

\(t^{2}+8t-9=0\)

\(a = 1\),  \(b = 8\),  \(c = -9\)

\(D = b^2 - 4ac =8^2 - 4\cdot1\cdot(-9)=\)

\(=64 + 36 = 100> 0\) - 2 корня.

По теореме, обратной теореме Виета:

\(t_1 + t_2 = -8\)  и  \(t_1 \cdot t_2 = -9\).

\(t_1 = -9\),  \(t_2 = 1\).

\((-t^{2}-8t+9=-(t+9)(t-1)\).

ж) \(2x^{2}-5x+3=0\)

\(a = 2\),  \(b = -5\),  \(c = 3\)

\(D = b^2 - 4ac =(-5)^2 - 4\cdot2\cdot3=\)

\(=25 -24 = 1>0) - 2 корня.

\(x_{1,2}= \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\(x_{1}= \frac{-(-5)+\sqrt 1}{2\cdot2}=\frac{5+1}{4}=\)

\(=\frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1,5\).

\(x_{2}= \frac{-(-5)-\sqrt 1}{2\cdot2}=\frac{5-1}{4}=\)

\(=\frac{4}{4} =1\).

\(2x^{2}-5x+3=\)

\(=2(x - 1,5)(x - 1)=\)

\(=2x - 3)(x - 1)\).

з) \(5y^{2}+2y-3=0\)

\(a = 5\),  \(b = 2\),  \(c = -3\)

\(D = b^2 - 4ac =2^2 -4\cdot5\cdot(-3)=\)

\(=4 + 60 = 64>0\) - 2 корня.

\(y_{1,2}= \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\(y_{1}= \frac{-2+\sqrt {64}}{2\cdot5}=\frac{-2+8}{10}=\)

\(=\frac{6}{10}=0,6\),

\(y_{2}= \frac{-2-\sqrt {64}}{2\cdot5}=\frac{-2-8}{10}=\)

\(=\frac{-10}{10}=-1\).

\(5y^{2}+2y-3=5(y-0,6)(y+1)=\)

\(=(5y - 3)(y+1)\).

и) \(-2n^{2}+5n+7=0\)    \(/\times(-1)\)

\(2n^{2}-5n-7=0\)

\(a = 2\),  \(b = -5\),  \(c = -7\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-5)^2 - 4\cdot2\cdot(-7)=\)

\(=25 +56 = 81>0\) - 2 корня.

\(n_{1,2}= \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\(n_{1}= \frac{-(-5)+\sqrt {81}}{2\cdot2}=\frac{5+9}{4}=\)

\(=\frac{14}{4}=\frac{7}{2} = 3,5\),

\(n_{2}= \frac{-(-5)-\sqrt {81}}{2\cdot2}=\frac{5-9}{4}=\)

\(=\frac{-4}{4}=-1\).

\(-2n^{2}+5n+7=\)

\(=-2(n-3,5)(n+1)=\)

\(=-(2n-7)(n+1)\).

---

Пояснения:

Использованные приемы:

1) Если квадратный трехчлен

\(ax^2 + bx+c\) имеет корни, то его можно разложить на множители

\(ax^2 + bx+c=a(x - x_1)(x-x_2)\),

где  \(x_1\) и \(x_2\) - корни квадратного трёхчлена.

2) Корни уравнения не изменяются, если обе его части разделить или умножить на одно и то же число.

3) При решении уравнений сначала находим дискриминант \(D = b^2 - 4ac\), чтобы определить количество корней. При \(D>0\) уравнение имеет два корня.

4) Корни приведенных квадратных уравнений, а также уравнений, которые можно привести к приведенным уравнениям с целочисленными коэффициентами, находим подбором с помощью теоремы, обратной теореме Виета:

\(x_1 + x_2 = -b\)  и  \(x_1 \cdot x_2 = c\).

5) Корни неприведенных квадратных уравнений находим по основным формулам корней:

\(x_{1,2}= \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\).

6) В разложении коэффициент \(а\) можно внести в какую-либо скобку для получения целочисленных выражений.

Пусть \(x\) - числитель дробь, тогда ее знаменатель - \(x + 3\). Числитель новой дроби \(x + 7\), а знаменатель - \(x + 8\). Дробь увеличилась на \(\frac12\).

Составим уравнение:

\( \frac{x+7}{x+8}=\frac{x}{x+3}+\frac12\)  \(/\times 2(x+8)(x+3)\)

ОДЗ: \(x + 8 \neq0\)  и  \(x +3 \neq0\)

         \(x \neq-8\)          \(x \neq-3\)

\( 2(x+7)(x+3)=2x(x+8)+(x+8)(x+3) \)

\(2(x^2 +3x+7x+21)=2x^2 + 16x+(x^2 + 3x+8x+24)\)

\(2(x^2 +10x+21)=2x^2 + 16x+x^2 +11x+24\)

\(2x^2+20x + 42 = 3x^2 +27x +24\)

\(2x^{2}+20x+42-3x^{2}-27x-24 =0\)

\(x^{2}+7x-18=0\)

\(a = 1\),  \(b = 7\),  \(c = -18\)

\(D = b^2 - 4ac =7^2 -4\cdot1\cdot(-18)=\)

\(=49 + 72 = 121\),    \(\sqrt D = 11\).

\( x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\).

\( x_1 = \frac{-7+11}{2\cdot1}=\frac{4}{2}=2\).

\( x_2 = \frac{-7-11}{2\cdot1}=\frac{-18}{2}=-9\).

1) \(\frac{2}{2 + 3} = \frac25\).

2) \(\frac{-9}{-9+3} = \frac{-9}{-6} = \frac{3}{2}\) - не удовлетворяет условию.

Ответ: \(\frac25\).

---

Пояснения:

Условие «знаменатель больше числителя на \(3\)» записали как \(\dfrac{x}{x+3}\).

«Увеличится на \(\dfrac12\)» означает: новая дробь равна старой плюс \(\dfrac12\). Получили дробное рациональное уравнение:

\( \frac{x+7}{x+8}=\frac{x}{x+3}+\frac12\).

Алгоритм решения дробного рационального уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

После того как обе части уравнения домножили на общий знаменатель, получили полное квадратное уравнение \(x^{2}+7x-18=0\), у которого дискриминант больше нуля, следовательно, имеем два корня уравнения:

\(x_1 = 2\) и \(x_2 = -9\).

Отрицательный корень не подходит, так как проверка показывает, что получается дробь, которая не удовлетворяет условию задачи:

\(\frac{-9}{-9+3} = \frac{-9}{-6} = \frac{3}{2}\).

У искомой дроби знаменатель должен быть на 3 больше числителя.