Упражнение 619 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(2x^{2}+12x-14=0\)

\(a=2,\ b=12,\ c=-14\).

\(\;D=b^{2}-4ac=\)

\(=12^{2}-4\cdot2\cdot(-14)=\)

\(=144+112=256,\)     \( \sqrt D=16.\)

\(x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\(x_1=\dfrac{-12+16}{2\cdot2}=\frac44=1\).

\(x_{2}=\dfrac{-12-16}{2\cdot2}=\frac{-28}{4}=-7.\)

\(2x^{2}+12x-14=2(x-1)(x+7).\)

б) \(-m^{2}+5m-6=0\)    \(/\times(-1)\)

\(m^{2}-5m+6=0\)

\(a=1,\ b=-5,\ c=6\).

\(D=b^2-4ac=(-5)^{2}-4\cdot1\cdot6=\)

\(=25-24=1,\)     \(\sqrt D=1.\)

\(m_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\(m_{1}=\dfrac{-(-5)+1}{2\cdot1}=\dfrac{6}{2} = 3\),

\(m_1=\dfrac{-(-5)-1}{2\cdot1}=\dfrac{4}{2}=2\).

\(-m^{2}+5m-6=\)

\(=-(m-3)(m-2).\)

в) \(3x^{2}+5x-2=0\)

\(a=3,\ b=5,\ c=-2\).

\(D=b^2 - 4ac=5^{2}-4\cdot3\cdot(-2)=\)

\(=25+24=49,\)    \( \sqrt D=7.\)

\(x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\(x_{1}=\dfrac{-5+7}{2\cdot3}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}\),

\(x_{2}=\dfrac{-5-7}{2\cdot3}=\dfrac{-12}{6}=-2.\)

\(3x^{2}+5x-2=\)

\(=3\!\left(x-\dfrac13\right)(x+2)=\)

\(=(3x-1)(x+2).\)

г) \(6x^{2}-13x+6=0\)

\(a=6,\ b=-13,\ c=6\).

\(D=b^2-4ac=(-13)^{2}-4\cdot6\cdot6=\)

\(=169-144=25,\ \sqrt D=5.\)

\(x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\(x_{1,2}=\dfrac{-(-13)+5}{2\cdot6}=\dfrac{18}{12}=\dfrac{3}{2}\),

\(x_{2}=\dfrac{-(-13)-5}{2\cdot6}=\dfrac{8}{12}=\dfrac{2}{3}.\)

\(6x^{2}-13x+6=\)

\(=6\!\left(x-\dfrac{3}{2}\right)\!\left(x-\dfrac{2}{3}\right)=\)

\(=(2x-3)(3x-2).\)

Пояснения:

Использованные приемы:

1) Если квадратный трехчлен

\(ax^2 + bx+c\) имеет корни, то его можно разложить на множители

\(ax^2 + bx+c=a(x - x_1)(x-x_2)\),

где  \(x_1\) и \(x_2\) - корни квадратного трёхчлена.

2) Корни уравнения не изменяются, если обе его части разделить или умножить на одно и то же число.

3) При решении уравнений сначала находим дискриминант \(D = b^2 - 4ac\), чтобы определить количество корней. При \(D>0\) уравнение имеет два корня.

4) Корни квадратных уравнений находим по основным формулам корней:

\(x_{1,2}= \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\).

5) В разложении коэффициент \(а\) можно внести в какую-либо скобку или разложив его на множители сразу в две скобки для получения целочисленных выражений.

\(20\) мин = \(\frac{20}{60}\) ч = \(\frac13\) ч.

Составим уравнение:

\(\frac{20}{x}-\frac{20}{x+2}=\frac{1}{3}\)  \(/\times 3x(x+2)\)

ОДЗ: \(x \neq 0\)  и  \(x + 2 \neq0\)

                          \(x \neq -2\)

\(60(x+2) - 60x = x(x+2)\)

\(\cancel{60x} + 120 - \cancel{60x} = x^2 +2x\)

\(x^2 + 2x - 120 =0\)

\(a = 1\),  \(b = 2\),  \(c = -120\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=2^{2}-4\cdot1\cdot(-120)=\)

\(=4 + 480=484\),    \( \sqrt D=22\).

\( x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\).

\( x_1 = \frac{-2+22}{2\cdot1}=\frac{20}{2}=10\).

\( x_2= \frac{-2-22}{2\cdot1}=\frac{-24}{2}=-12\) - не удовлетворяет условию (\(x>0\)).

1) \(10\) км/ч - скорость второго лыжника.

2) \(10 + 2 = 12\) (км/ч) - скорость первого лыжника.

Ответ: \(12\) км/ч и \(10\) км/ч.

Пояснения:

Время в пути: \(\,t=\dfrac{S}{v}\). Для медленного и быстрого лыжников соответственно: \[ t_{1}=\frac{20}{x},\qquad t_{2}=\frac{20}{x+2}. \] По условию \(t_{1}-t_{2}=\frac13\), так как \(20\) мин = \(\frac13\) ч, откуда получено дробное рациональное уравнение:

\(\frac{20}{x}-\frac{20}{x+2}=\frac{1}{3}\).

Алгоритм решения дробного рационального уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

После того как обе части уравнения домножили на общий знаменатель и выполнили преобразования, получили полное квадратное уравнение \(x^2 + 2x - 120 =0\), у которого дискриминант больше нуля, следовательно, имеем два корня уравнения:

\(x_1 = 10\) и \(x_2 = -12\).

Отрицательный корень не подходит, так как скорость не может быть отрицательным числом.

Значит, скорость второго (медленного) лыжника равна \(10\) км/ч. Скорость первого (быстрого) лыжника на 2 км/ч больше, значит, она равна:

\(10+2=12\) (км/ч).