Упражнение 779 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны \(x\) см и \(y\) см (\(x > 0\) и \(y > 0\)). Тогда его площадь:

\(\dfrac{xy}{2}=44\).

Катеты нового прямоугольного треугольника равны \(x-1\) и \(y+2\). Тогда его площадь:

\(\dfrac{(x-1)(y+2)}{2}=50\).

Составим систему уравнений:

\(\begin{cases} \dfrac{xy}{2}=44,    /\times2\\[6pt] \dfrac{(x-1)(y+2)}{2}=50    /\times2 \end{cases}\)

\(\begin{cases} xy=88, \\[6pt] (x-1)(y+2)=100 \end{cases}\)

\(\begin{cases} xy=88, \\[6pt] xy+2x-y-2 = 100 \end{cases}\)

\(\begin{cases} xy=88, \\[6pt] 88+2x-y-2 = 100 \end{cases}\)

\(\begin{cases} xy=88, \\[6pt] 86+2x-y = 100 \end{cases}\)

\(\begin{cases} xy=88, \\[6pt] 2x-y = 100-86 \end{cases}\)

\(\begin{cases} xy=88, \\[6pt] 2x-y = 14 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x(2x-14)=88, \\[6pt] y = 2x - 14 \end{cases}\)

\(x(2x-14)=88\)

\(2x^2 - 14x - 88 = 0\)   \(/:2\)

\(x^2-7x-44=0\)

\(a = 1\),  \(b = -7\),  \(c = -44\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-7)^2-4\cdot1\cdot(-44)\)

\(=49+176=225 > 0\) - два действительных корня.

\(x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),  \(\sqrt {225} = 15\)

\(x_1=\dfrac{7+15}{2\cdot1}=\dfrac{22}{2} = 11\)

\(x_2=\dfrac{7-15}{2\cdot1}=\dfrac{-8}{2} = -4 < 0\) - не удовлетворяет условию.

Если \(x=11\), то

\( y=2\cdot11-14=22-14=8\).

Ответ: катеты треугольника равны \(11\) см и \(8\) см.

Пояснения:

1. Формула площади прямоугольного треугольника.

\[S=\frac{xy}{2}.\]

Из условия \(S=44\), значит \(xy=88\).

2. Составление второго уравнения.

После изменения катетов площадь становится 50 см²:

\[\frac{(x-1)(y+2)}{2}=50.\]

Раскрываем скобки и используем \(xy=88\), получаем линейное уравнение \(2x-y=14\).

3. Решение системы.

Подставляем \(y=2x-14\) в \(xy=88\). Получаем квадратное уравнение. Один корень отрицательный (длина не может быть отрицательной), поэтому берём положительный: \(x=11\), \(y=8\).

а) \(C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}\)

\(n=16; k=4;\)

\( C_{16}^4=\frac{16!}{4!(16-4)!}=\)

\(=\frac{12!\cdot13\cdot14\cdot15\cdot16}{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot 12!}= \)

\(=13\cdot7\cdot5\cdot4=1\;820 \)

б) \(A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}\)

\(n=16;\; k=4.\)

\(A_{16}^4 = \frac{16!}{(16-4)!}=\)

\(=\frac{12!\cdot13\cdot14\cdot15\cdot16}{12!}=43\;680 \)

Ответ:

а) \(1\;820\);

б) \(43\;680\).

Пояснения:

Использованные правила:

1. Формула сочетаний:

\[ C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!} \]

Эта формула используется тогда, когда нужно выбрать несколько человек из общего числа, и порядок выбора не важен.

2. Формула размещений без повторений:

\(A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}\)

Она используется тогда, когда важно не только выбрать людей, но и распределить их по ролям или местам.

3. Факториал:

\[ n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot n \]

При вычислении удобно сокращать факториалы.

Пояснение к пункту а).

Нужно выбрать 4 человек из 16. При этом не сказано, кто на каком месте будет играть, значит важен только состав команды.

Это задача на сочетания: \( C_{16}^4.\)

Пояснение к пункту б).

Теперь нужно не только выбрать 4 человек, но и указать, кто будет играть на первой, второй, третьей и четвёртой досках.

Здесь порядок уже важен, потому что игра на первой доске и на четвёртой доске — это разные роли.

Поэтому это задача на размещения без повторений: \(A_{16}^4\)

Итак, в пункте а) порядок не важен, поэтому используются сочетания, а в пункте б) порядок важен, поэтому используются размещения.