Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№778 учебника 2023-2026 (стр. 201):
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 41 см, а его площадь равна 180 см2. Найдите катеты этого треугольника.
№778 учебника 2014-2022 (стр. 197):
Из 12 солдат, в число которых входят Иванов и Петров, надо отправить в караул трёх человек. Сколькими способами это можно сделать, если:
а) Иванов и Петров должны пойти в караул обязательно;
б) Иванов и Петров должны остаться;
в) Иванов должен пойти в караул, а Петров — остаться?
№778 учебника 2023-2026 (стр. 201):
Вспомните:
№778 учебника 2014-2022 (стр. 197):
Введите текст
№778 учебника 2023-2026 (стр. 201):
Пусть катеты прямоугольного треугольника равны \(x\) см и \(y\) см (\(x > 0\) и \(y > 0\)). Его гипотенуза \(41\) см, а площадь \(180\) см2.
Составим систему уравнений:
\(\begin{cases} x^2+y^2=41^2\\[4pt] \dfrac{xy}{2}=180 /\times2 \end{cases}\)
\(\begin{cases} x^2+y^2=1681\\[4pt] xy=360 \end{cases}\)
\(\begin{cases} (x^2 +2xy+y^2)-2xy=1681\\[4pt] xy=360 \end{cases}\)
\(\begin{cases} (x+y)^2-2\cdot360=1681\\[4pt] xy=360 \end{cases}\)
\(\begin{cases} (x+y)^2-720=1681\\[4pt] xy=360 \end{cases}\)
\(\begin{cases} (x+y)^2=1681 + 720\\[4pt] xy=360 \end{cases}\)
\(\begin{cases} (x+y)^2=2401\\[4pt] xy=360 \end{cases}\)
\(\begin{cases} x+y=\pm\sqrt{2401}\\[4pt] xy=360 \end{cases}\)
\(\begin{cases} x+y=\pm49\\[4pt] xy=360 \end{cases}\)
\(x + y = -49\) - не удовлетворяет условию.
\(\begin{cases} x+y=49\\[4pt] xy=360 \end{cases}\)
\(\begin{cases} y=49-x\\[4pt] x(49-x)=360 \end{cases}\)
\(x(49-x)=360\)
\(49x-x^2=360\)
\(x^2 - 49x+360 = 0\)
\(a = 1\), \(b = -49\), \(c = 360\)
\(D = b^2 - 4ac= \)
\(=(-49)^2 - 4\cdot1\cdot360 =\)
\(=2401 - 1440 = 961 > 0\) - два действительных корня.
\(x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\), \(\sqrt{961} = 31\)
\(x_1 = \frac{49 + 31}{2\cdot1} = \frac{80}{2} = 40\).
\(x_2 = \frac{49 - 31}{2\cdot1} = \frac{18}{2} = 9\).
Если \(x = 40\), то
\(y = 49 - 40 = 9\).
Если \(x = 9\), то
\(y = 49 - 9 = 40\).
Ответ: катеты треугольника равны \(40\) см и \(9\) см.
Пояснения:
1. Формула площади прямоугольного треугольника.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:
\[S=\frac{xy}{2},\]
\(x\) и \(y\) - катеты.
По условию \(S=180\), значит \(xy=360\).
2. Теорема Пифагора.
Для прямоугольного треугольника по теореме Пифагора:
\[x^2+y^2=c^2.\]
Так как гипотенуза \(c=41\), получаем \(x^2+y^2=1681\).
3. Из полученных уравнений составляем систему:
\(\begin{cases} x^2+y^2=1681\\[4pt] xy=360 \end{cases}\).
4. Использование формулы квадрата суммы.
\[(x+y)^2=x^2+2xy+y^2.\]
5. Находим сумму катетов: \(x+y=49\) и далее решаем систему методом подстановки. Из одного уравнения выражаем переменную \(y\), подставляем в другое уравнение, находим \(x\), затем находим \(y\).
№778 учебника 2014-2022 (стр. 197):
а)
\[ C_{10}^1=10 \]
б)
\[ C_{10}^3=\frac{10\cdot 9\cdot 8}{6}=120 \]
в)
\[ C_{10}^2=\frac{10\cdot 9}{2}=45 \]
Ответ:
а) \(10\);
б) \(120\);
в) \(45\).
Пояснения:
Использованные правила:
1. Формула сочетаний:
\[ C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!} \]
2. При выборе группы порядок не важен, поэтому используются сочетания.
Рассуждение:
Всего 12 солдат, среди них Иванов и Петров.
Пояснение к пункту а).
Иванов и Петров уже выбраны.
Нужно выбрать ещё 1 человека из оставшихся 10:
\[ C_{10}^1=10 \]
Пояснение к пункту б).
Иванов и Петров не участвуют, значит выбираем всех 3 человек из оставшихся 10:
\[ C_{10}^3=120 \]
Пояснение к пункту в).
Иванов уже включён, Петров исключён.
Остаётся выбрать ещё 2 человек из 10 оставшихся:
\[ C_{10}^2=45 \]
Таким образом, учитываем условия задачи и применяем сочетания.
Вернуться к содержанию учебника