Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№782 учебника 2023-2026 (стр. 201):
Один из членов арифметической прогрессии \((a_n)\) равен 3. Найдите его номер, если \(a_1 = 48{,}5\) и \(d = -1{,}3\). Является ли членом этой прогрессии число \(-3{,}5\); число 15?
№782 учебника 2014-2022 (стр. 197):
Упростите выражение:
\[ \frac{a+b}{a^2+ab+b^2}\cdot \frac{a^3-b^3}{b^2-a^2}:\left(1-\frac{a+b}{b}\right). \]
№782 учебника 2023-2026 (стр. 201):
№782 учебника 2014-2022 (стр. 197):
Введите текст
№782 учебника 2023-2026 (стр. 201):
\((a_n)\) - арифметическая прогрессия.
\(a_n=3\); \(a_1 = 48{,}5\); \(d = -1{,}3\).
1. \(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(3 = 48{,}5 + (n - 1)\cdot(-1{,}3)\)
\(3 = 48{,}5 - 1{,}3(n - 1)\)
\(1{,}3(n - 1)=48{,}5 - 3 \)
\(1{,}3(n - 1)=45{,}5 \)
\(n - 1 = \dfrac{45{,}5}{1{,}3}\)
\(n - 1 = 35\)
\(n = 36\)
2. \(a_n=-3,5\)
\(-3{,}5 = 48{,}5 - 1{,}3(n - 1)\)
\(1{,}3(n - 1)=48{,}5 + 3{,}5\)
\(1{,}3(n - 1)=52\)
\(n - 1 = \dfrac{52}{1{,}3}\)
\(n - 1 = 40\)
\(n = 41\in N\)
3. \(a_n=15\)
\(15 = 48{,}5 - 1{,}3(n - 1)\)
\(1{,}3(n - 1)=48{,}5 - 15 \)
\(1{,}3(n - 1)=33{,}5\)
\(n - 1 = \dfrac{33{,}5}{1{,}3}\)
\(n - 1 = 25{,}769...\)
\(n = 26{,}769...\)
\(n \notin N\)
Ответ: \(n=36\); число \(-3,5\) является членом данной прогрессии, число \(15\) - нет.
Пояснения:
Формула \(n\) - го члена арифметической прогрессии:
\(a_n = a_1 + (n - 1)d\)
где \(a_1\) — первый член прогрессии, \(d\) — разность прогрессии, \(n\) — номер члена.
Чтобы найти номер члена, равного заданному числу, нужно подставить это число вместо \(a_n\) и решить уравнение относительно \(n\).
В пункте (1) мы подставили значение 3 вместо \(a_n\) и получили линейное уравнение. После преобразований получилось целое значение \(n = 36\). Значит, число 3 является 36-м членом прогрессии.
В пункте (2) аналогично подставили число \(-3{,}5\). После вычислений получили целое значение \(n = 41\). Это означает, что число \(-3{,}5\) входит в данную прогрессию и является её 41-м членом.
В пункте (3) при подстановке числа 15 получилось дробное значение \(n\). Номер члена прогрессии должен быть натуральным числом. Так как \(n\) не является натуральным числом, число 15 не является членом данной арифметической прогрессии.
№782 учебника 2014-2022 (стр. 197):
\[ \frac{a+b}{a^2+ab+b^2}\cdot \frac{(a-b)(a^2+ab+b^2)}{-(a-b)(a+b)}:\left(1-\frac{a+b}{b}\right) \]
\[ =\frac{a+b}{a^2+ab+b^2}\cdot \frac{(a-b)(a^2+ab+b^2)}{-(a-b)(a+b)}:\left(\frac{b-(a+b)}{b}\right) \]
\[ =\frac{a+b}{a^2+ab+b^2}\cdot \frac{(a-b)(a^2+ab+b^2)}{-(a-b)(a+b)}:\left(\frac{-a}{b}\right) \]
\[ =\frac{1}{-1}:\left(\frac{-a}{b}\right) \]
\[ =-1 \cdot \frac{b}{-a} \]
\[ =\frac{b}{a} \]
Ответ: \(\dfrac{b}{a}\).
Пояснения:
Использованные формулы:
1. Разность кубов:
\[ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) \]
2. Разность квадратов:
\[ b^2-a^2=(b-a)(b+a)=-(a-b)(a+b) \]
3. Приведение дробей и сокращение одинаковых множителей.
Пошаговое объяснение:
Сначала разложим выражения:
\[ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) \]
\[ b^2-a^2=-(a-b)(a+b) \]
Подставляем в исходное выражение:
Видим, что множители \((a^2+ab+b^2)\), \((a-b)\) и \((a+b)\) сокращаются.
Остаётся только знак \(-1\).
Теперь упростим скобку:
\[ 1-\frac{a+b}{b}=\frac{b-(a+b)}{b}=\frac{-a}{b} \]
Деление на дробь заменяем умножением на обратную:
\[ -1 : \frac{-a}{b} = -1 \cdot \frac{b}{-a} = \frac{b}{a} \]
Итак, окончательный результат:
\[ \frac{b}{a} \]
Вернуться к содержанию учебника