Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№781 учебника 2023-2026 (стр. 201):
Двое рабочих, работая вместе, выполнили работу за 2 дня. Сколько времени нужно каждому из них на выполнение всей работы, если известно, что если бы первый проработал 2 дня, а второй — один, то всего было бы сделано \(\dfrac{5}{6}\) всей работы?
№781 учебника 2014-2022 (стр. 197):
Из группы туристов четырёх дежурных можно выбрать в 13 раз большим числом способов, чем двух дежурных. Сколько туристов в группе?
№781 учебника 2023-2026 (стр. 201):
Вспомните:
№781 учебника 2014-2022 (стр. 197):
Введите текст
№781 учебника 2023-2026 (стр. 201):
Пусть первый рабочий выполняет всю работу за \(x\) дней (\(x > 0\)), второй — за \(y\) дней (\(y > 0\)). За один день вместе они выполнят:
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{2}\).
Первый за 2 дня выполнит \(\dfrac{2}{x}\) всей работы, тогда
\(\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{5}{6}\).
Составим систему уравнений:
\(\begin{cases} \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{2} \\[8pt] \dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{5}{6} \end{cases}\) \((-)\)
1) \(\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)-\left(\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y}\right)=\dfrac{1}{2} ^{\color{blue}{\backslash3}} -\dfrac{5}{6}\)
\(\dfrac{1}{x}+\cancel{\dfrac{1}{y}}-\dfrac{2}{x}-\cancel{\dfrac{1}{y}}=\dfrac{3}{6}-\dfrac{5}{6}\)
\(-\dfrac{1}{x}=-\dfrac{2}{6}\)
\(\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{3}\)
\(x = 3\)
2) \(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{2}\)
\(\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{2} ^{\color{blue}{\backslash3}} -\dfrac{1}{3} ^{\color{blue}{\backslash2}} \)
\(\dfrac{1}{y}=\dfrac{3}{6}-\dfrac{2}{6}\)
\(\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{6}\)
\(y=6\)
Ответ: первый — \(3\) дня, второй — \(6\) дней.
Пояснения:
1. Производительность.
Если рабочий выполняет всю работу за \(x\) дней, то за 1 день он делает \(\dfrac{1}{x}\) работы.
2. Условие о совместной работе.
За 2 дня вместе сделана вся работа, значит за 1 день вместе они делают \(\dfrac{1}{2}\) работы:
\[\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2}.\]
3. Второе условие.
Если первый работает 2 дня, а второй 1 день, то выполнено \(\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y}\) работы, и это равно \(\dfrac{5}{6}\):
\[\frac{2}{x}+\frac{1}{y}=\frac{5}{6}.\]
4. Как найти \(x\).
Вычитанием первого уравнения из второго исключаем \(\dfrac{1}{y}\) и получаем \(\dfrac{1}{x}\), после чего находим \(x=3\).
5. Как найти \(y\).
Подставляем \(x=3\) в первое уравнение и находим \(y=6\).
№781 учебника 2014-2022 (стр. 197):
\[ \frac{C_n^4}{C_n^2}=13 \]
\[ \frac{\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}}{\frac{n(n-1)}{2}}=13 \]
\[ \frac{(n-2)(n-3)}{12}=13 \]
\[ (n-2)(n-3)=156 \]
\[ n^2-5n+6=156 \]
\[ n^2-5n-150=0 \]
\[ D=(-5)^2-4\cdot 1\cdot (-150) \]
\[ D=25+600=625 \]
\[ \sqrt{D}=25 \]
\[ n=\frac{5+25}{2}=15 \]
\[ n=\frac{5-25}{2}=-10 \]
\[ n=15 \]
Ответ: \(15\).
Пояснения:
Использованные правила:
1. Формула сочетаний:
\[ C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!} \]
2. Свойство сокращения дробей.
3. Решение квадратного уравнения через дискриминант.
Рассуждение:
Число способов выбрать 4 человек:
\[ C_n^4 \]
Число способов выбрать 2 человек:
\[ C_n^2 \]
По условию:
\[ C_n^4=13\cdot C_n^2 \]
Подставляем формулы:
\[ \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}=13\cdot \frac{n(n-1)}{2} \]
Сокращаем \(n(n-1)\) (при \(n>1\)):
\[ \frac{(n-2)(n-3)}{12}=13 \]
Умножаем на 12:
\[ (n-2)(n-3)=156 \]
Раскрываем скобки:
\[ n^2-5n+6=156 \]
Переносим:
\[ n^2-5n-150=0 \]
Решаем квадратное уравнение:
\[ D=625,\quad \sqrt{D}=25 \]
\[ n=\frac{5\pm 25}{2} \]
Получаем \(n=15\) или отрицательное значение (не подходит).
Следовательно, в группе 15 туристов.
Вернуться к содержанию учебника