Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№780 учебника 2023-2026 (стр. 201):
Двое рабочих вместе могут выполнить некоторую работу за 10 дней. После 7 дней совместной работы один из них был переведён на другой участок, а второй закончил работу, проработав ещё 9 дней. За сколько дней каждый рабочий мог выполнить всю работу?
№780 учебника 2014-2022 (стр. 197):
Максим подсчитал, что существует 378 способов выбора из класса двух дежурных. Сколько учащихся в этом классе?
№780 учебника 2023-2026 (стр. 201):
Вспомните:
№780 учебника 2014-2022 (стр. 197):
Введите текст
№780 учебника 2023-2026 (стр. 201):
Пусть первый рабочий выполняет всю работу за \(x\) дней (\(x > 0\)), второй — за \(y\) дней (\(y > 0\)). За один день они выполнят \(\frac{1}{10}\) всей работы:
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{10}\).
За 7 дней первый и второй рабочий вместе выполнят \(\dfrac{7}{10}\) всей работы, тогда второму рабочему за 9 дней останется выполнить \(1 - \dfrac{7}{10} = \dfrac{3}{10}\) всей работы, значит:
\( \dfrac{9}{y}= \dfrac{3}{10}\)
Составим систему уравнений:
\(\begin{cases} \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{10} \\[8pt] \dfrac{9}{y}= \dfrac{3}{10} / : 9 \end{cases}\)
\(\begin{cases} \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{10} \\[8pt] \dfrac{1}{y}= \dfrac{1}{30} \end{cases}\)
\(\begin{cases} \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{30}=\dfrac{1}{10} \\[8pt] y = 30 \end{cases}\)
\(\begin{cases} \dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{10} ^{\color{blue}{\backslash3}} - \dfrac{1}{30} \\[8pt]y = 30 \end{cases}\)
\(\begin{cases} \dfrac{1}{x}=\dfrac{3}{30} - \dfrac{1}{30} \\[8pt]y = 30 \end{cases}\)
\(\begin{cases} \dfrac{1}{x}=\dfrac{2}{30} \\[8pt] y = 30 \end{cases}\)
\(\begin{cases} \dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{15} \\[8pt] y = 30 \end{cases}\)
\(\begin{cases} x=15 \\[2pt] y = 30 \end{cases}\)
Ответ: первый за \(15\) дней, второй за \(30\) дней.
Пояснения:
1. Производительность.
Если рабочий выполняет работу за \(x\) дней, то за 1 день он делает \(\dfrac{1}{x}\) работы.
2. Совместная работа.
Если работают вместе, их производительности складываются:
\[\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{10}.\]
3. Нахождение оставшейся работы.
За 7 дней выполнено \(\dfrac{7}{10}\) всей работы, осталось \(\dfrac{3}{10}\).
4. Использование второго условия.
Второй рабочий один за 9 дней сделал \(\dfrac{3}{10}\) работы, поэтому:
\[\frac{9}{y}=\frac{3}{10}.\]
Отсюда \(y=30\).
5. Нахождение первого рабочего.
Подставляем \(y=30\) в первое уравнение и получаем \(x=15\).
№780 учебника 2014-2022 (стр. 197):
\[ C_n^2=378 \]
\[ \frac{n(n-1)}{2}=378 \]
\[ n(n-1)=756 \]
\[ n^2-n-756=0 \]
\[ D=(-1)^2-4\cdot 1\cdot (-756) \]
\[ D=1+3024=3025 \]
\[ \sqrt{D}=55 \]
\[ n=\frac{1+55}{2}=28 \]
\[ n=\frac{1-55}{2}=-27 \]
\[ n=28 \]
Ответ: \(28\).
Пояснения:
Использованные правила:
1. Формула сочетаний:
\[ C_n^2=\frac{n(n-1)}{2} \]
2. Решение квадратного уравнения:
\[ D=b^2-4ac,\quad x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a} \]
Рассуждение:
Если в классе \(n\) человек, то число способов выбрать двух дежурных равно:
\[ C_n^2=\frac{n(n-1)}{2} \]
По условию это число равно 378:
\[ \frac{n(n-1)}{2}=378 \]
Умножаем на 2:
\[ n(n-1)=756 \]
Раскрываем скобки:
\[ n^2-n-756=0 \]
Решаем квадратное уравнение. Находим дискриминант:
\[ D=3025 \]
\[ \sqrt{3025}=55 \]
Находим корни:
\[ n=\frac{1\pm 55}{2} \]
Получаем два значения, но подходит только положительное:
\[ n=28 \]
Отрицательное значение не имеет смысла в задаче.
Таким образом, в классе 28 учащихся.
Вернуться к содержанию учебника