Упражнение 783 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\((a_n)\) - арифметическая прогрессия. 

\(a_{14}=140; S_{14}=1050\) 

\(S_{14}=\frac{a_1+a_{14}}{2}\cdot14\)

\(1050=\frac{a_1+140}{2}\cdot14\)

\(1050=(a_1+140)\cdot7\)

\((a_1+140)=1050:7\)

 \((a_1+140)=150\)

 \(a_1=150-140\)

 \(a_1=10.\)

\(a_{14}=a_1+13d\)

\(140=10+13d\)

\(13d=140-10\)

\(13d=130\)

\(d=10.\)

Ответ:  \(a_1=10; d=10.\)

Пояснения:

Основные формулы арифметической прогрессии:

1. Формула \(n\)-го члена:

\(a_n = a_1 + (n - 1)d\)

2. Формула суммы первых \(n\) членов:

\(S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}n\)

\[ y=-2x^2+8 \]

Вершина:

\[ x=0,\quad y=8 \Rightarrow (0;8) \]

Точки:

\[ x=-2 \Rightarrow y=-2\cdot 4+8=0 \Rightarrow (-2;0) \]

\[ x=-1 \Rightarrow y=-2\cdot 1+8=6 \Rightarrow (-1;6) \]

\[ x=1 \Rightarrow y=-2\cdot 1+8=6 \Rightarrow (1;6) \]

\[ x=2 \Rightarrow y=-2\cdot 4+8=0 \Rightarrow (2;0) \]

График — парабола с вершиной в точке \((0;8)\), ветви направлены вниз.

Пояснения:

Использованные правила:

1. Общий вид квадратичной функции:

\[ y=ax^2+bx+c \]

2. Если \(a<0\), ветви параболы направлены вниз.

3. Вершина параболы при \(b=0\):

\[ x=0,\quad y=c \]

Рассмотрим функцию:

\[ y=-2x^2+8 \]

Здесь:

\[ a=-2<0 \]

Значит, парабола направлена вниз.

Свободный член:

\[ c=8 \]

Это значение функции при \(x=0\), значит вершина:

\[ (0;8) \]

Для построения берём симметричные точки относительно оси \(Oy\):

\[ x=\pm 1 \Rightarrow y=6 \]

\[ x=\pm 2 \Rightarrow y=0 \]

Соединяя эти точки плавной линией, получаем параболу.

Ось симметрии — прямая:

\[ x=0 \]

Таким образом, график — это парабола, направленная вниз, с вершиной в точке \((0;8)\).