Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№784 учебника 2023-2026 (стр. 201):
Последовательность \((a_n)\) — арифметическая прогрессия. Известно, что \(a_6 = -6\) и \(a_{16} = 17{,}5\). Найдите сумму первых шестнадцати членов этой прогрессии.
№784 учебника 2014-2022 (стр. 198):
Решите неравенство:
а) \(x^2-0{,}5x-5<0\);
б) \(x^2-2x+12{,}5>0\).
№784 учебника 2023-2026 (стр. 201):
№784 учебника 2014-2022 (стр. 198):
Введите текст
№784 учебника 2023-2026 (стр. 201):
\(a_6 = -6\) и \(a_{16} = 17{,}5\)
\( \begin{cases} a_6=a_1+5d \\ a_{16}=a_1+15d \end{cases} \)
\( \begin{cases} -6=a_1+5d \color{red}{|\times(-1)}\\ 17,5=a_1+15d \end{cases} \)
+\( \begin{cases} 6=-a_1-5d \\ 17,5=a_1+15d \end{cases} \)
\(23,5=10d\)
\(d=23,5:10\)
\(d=2,35\)
\(17,5=a_1+15\cdot2,35\)
| × | 2 | 3 | 5 | |
| 1 | 5 | |||
| + | 1 | 1 | 7 | 5 |
| 2 | 3 | 5 | ||
| 3 | 5 | 2 | 5 |
\(a_1=17,5-35,25\)
\(a_1=-17,75.\)
\(S_{16} = \dfrac{a_1 + a_{16}}{2}\cdot16=\)
\(=\dfrac{-17,75 +17,5}{2}\cdot16=\)
\(= 8(-17{,}75 + 17{,}5) = -2.\)
Ответ: \(S_{16}=-2.\)
Пояснения:
Основные формулы арифметической прогрессии:
1. Формула \(n\)-го члена:
\(a_n = a_1 + (n - 1)d\)
2. Формула суммы первых \(n\) членов:
\(S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}n\)
Сначала мы составили выражения для нахождения 6-го и 16-го членов арифметической прогрессии, и объединили их в систему линейных уравнений с двумя переменными, решив которую, мы получили, что \(d=2,35\), \(a_1=-17,75.\)
Для вычисления суммы удобно использовать формулу \(S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}n\), поскольку нам уже известны первый и шестнадцатый члены.
В результате получили:
\(S_{16} = -2\).
№784 учебника 2014-2022 (стр. 198):
а)
\[ x^2-0{,}5x-5<0 \]
\[ D=(-0{,}5)^2-4\cdot 1\cdot (-5) \]
\[ D=0{,}25+20=20{,}25 \]
\[ \sqrt{D}=4{,}5 \]
\[ x_1=\frac{0{,}5-4{,}5}{2}=\frac{-4}{2}=-2 \]
\[ x_2=\frac{0{,}5+4{,}5}{2}=\frac{5}{2}=2{,}5 \]
\[ -2<x<2{,}5 \]
б)
\[ x^2-2x+12{,}5>0 \]
\[ D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot 12{,}5 \]
\[ D=4-50=-46 \]
\[ D<0 \]
\[ a=1>0 \]
\[ x^2-2x+12{,}5>0 \text{ при любых } x \]
Ответ:
а) \(\;(-2;2{,}5)\);
б) \(\;(-\infty;+\infty)\).
Пояснения:
Использованные правила:
1. Для квадратного трёхчлена \(ax^2+bx+c\) дискриминант вычисляется по формуле
\[ D=b^2-4ac \]
2. Корни квадратного уравнения находятся по формуле
\[ x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a} \]
3. Если \(a>0\), ветви параболы направлены вверх.
Тогда:
— выражение \(ax^2+bx+c<0\) выполняется между корнями;
— если \(D<0\), то при \(a>0\) выражение всегда положительно.
Пояснение к пункту а).
Рассматриваем квадратный трёхчлен
\[ x^2-0{,}5x-5 \]
Здесь:
\[ a=1,\quad b=-0{,}5,\quad c=-5 \]
Находим дискриминант:
\[ D=(-0{,}5)^2-4\cdot 1\cdot (-5)=0{,}25+20=20{,}25 \]
Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два корня:
\[ x_1=-2,\qquad x_2=2{,}5 \]
Поскольку \(a=1>0\), парабола направлена вверх. Значит, она расположена ниже оси \(Ox\) между корнями.
Поэтому решение неравенства
\[ x^2-0{,}5x-5<0 \]
такое:
\[ -2<x<2{,}5 \]
Пояснение к пункту б).
Рассматриваем выражение
\[ x^2-2x+12{,}5 \]
Здесь:
\[ a=1,\quad b=-2,\quad c=12{,}5 \]
Находим дискриминант:
\[ D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot 12{,}5=4-50=-46 \]
Дискриминант отрицательный, значит, корней нет. Парабола не пересекает ось \(Ox\).
Так как \(a>0\), вся парабола расположена выше оси \(Ox\). Значит, выражение положительно при любом значении \(x\).
Поэтому неравенство
\[ x^2-2x+12{,}5>0 \]
выполняется для всех действительных чисел:
\[ x\in(-\infty;+\infty) \]
Вернуться к содержанию учебника