Упражнение 695 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(b_2=-\dfrac{1}{32},\ b_3=\dfrac{1}{16}.\)

\(q=\dfrac{b_3}{b_2}={\frac{1}{16}}:{\biggl(-\frac{1}{32}\biggr)}=\)

\(=-\frac{1}{16}\cdot32=-2\)

\(b_2=b_1 q\)

\(b_1=\dfrac{b_2}{q}={-\frac{1}{32}}:{(-2)}=\dfrac{1}{64}\)

\(b_n=b_1 q^{n-1}\)

\(b_{12}=b_1 q^{11}=\dfrac{1}{64}\cdot(-2)^{11}=\)

\(=\dfrac{(-2)^{11}}{(-2)^{6}}=(-2)^{5}=-32.\)

Ответ: \(b_{12}=-32.\)

Пояснения:

Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число \(q\), называемое знаменателем прогрессии. Справедливо, что:

\(b_{n+1}=b_{n}q\), откуда, \(q=\frac{b_{n+1}}{b_n}.\)

Формула \(n\)-го члена геометрической прогрессии:

\[ b_n = b_1 \cdot q^{\,n-1}. \]

Также помним, что при возведении отрицательного числа в нечётную степень результат отрицательный.

а) \(8{,}2;\ 7{,}4;\ \dots\) - арифметическая прогрессия.

\(a_1=8{,}2,  \, a_2=7{,}4\)

\(d=a_2 - a_1=7{,}4-8{,}2=-0{,}8\)

\(a_n = a_1 + (n-1)d\)

\(a_n=8{,}2+(n-1)\cdot(-0{,}8)\)

\(a_n > 0\)

\(8{,}2-0{,}8(n-1)>0\)

\(-0{,}8(n-1)>-8{,}2\)  \(/\times (-1)\)

\(0{,}8(n-1)<8{,}2\)    \(/ : 0,8\)

\(n - 1 < \frac{82}{8}\)

\(n - 1 < \frac{8,2}{0,8}\)

\(n-1<10{,}25\)

\(n < 10,25 + 1\)

\(n < 11,25\)

\(n=11\) - номер последнего положительного члена.

\(a_{11}=8{,}2-10\cdot0{,}8=8,2 - 8=0{,}2\)

\(S_n=\dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n\)

\(S_{11}=\dfrac{8,2 + 0,2}{2}\cdot 11=\)

\(=\dfrac{ ^{\color{blue}{4,2}} \cancel{8,4}\cdot11}{\cancel2}=4,2\cdot11 = 46,2\)

Ответ: \(46,2\).

б) \(-6{,}5;\ -6;\ \dots\) - арифметическая прогрессия.

\(a_1=-6{,}5,\quad a_2 = -6\)

\(d=a_2 - a_1=-6-(-6{,}5)=\)

\(=-6 + 6,5 = 0{,}5\).

\(a_n = a_1 + (n-1)d\)

\(a_n=-6{,}5+(n-1)\cdot0{,}5\)

\(a_n < 0\)

\(-6{,}5+0{,}5(n-1)<0\)

\(0{,}5(n-1)<6{,}5\)

\(n-1<13\)

\(n < 13 + 1\)

\(n < 14\)

\(n=13\) - номер последнего отрицательного члена.

\(a_{13}=-6{,}5+12\cdot0{,}5=\)

\(=-6,5+ 6=-0{,}5\).

\(S_n=\dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n\)

\(S_{13}=\dfrac{-6,5 + (-0,5)}{2}\cdot 13=\)

\(=\dfrac{-7\cdot13}{2}=\dfrac{-91}{2} = -45,5\).

Ответ: \(-45{,}5\)

Пояснения:

Используемые правила и формулы:

1) Формула \(n\)-го члена арифметической прогрессии:

\[a_n=a_1+(n-1)d.\]

2) Формула суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии:

\(S_n=\dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n\).

3) Чтобы найти сумму только положительных или только отрицательных членов, сначала определяется последний такой член с помощью неравенства.

а) Положительные члены.

Так как прогрессия убывающая, положительные члены идут подряд, начиная с первого. Последний положительный член определяется условием \(a_n>0\).

б) Отрицательные члены.

Так как прогрессия возрастающая, отрицательные члены также идут подряд, начиная с первого. Последний отрицательный член находится из условия \(a_n<0\).