Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№692 учебника 2023-2026 (стр. 189):
Найдите значение выражения:
а) \(\small 0{,}3^{-3}+\left(\dfrac{3}{7}\right)^{-1}+(-0{,}5)^{-2}\cdot\dfrac{3}{4}+(-1)^{-8}\cdot6;\)
б) \(\small \left(\dfrac{2}{3}\right)^{-2}-\left(\dfrac{1}{9}\right)^{-1}+\left(\dfrac{6}{17}\right)^0\cdot\dfrac{1}{8}-0{,}25^{-2}\cdot16.\)
№692 учебника 2014-2022 (стр. 178):
Найдите натуральное число, которое:
а) в 5 раз меньше суммы предшествующих ему натуральных чисел;
б) равно сумме предшествующих ему натуральных чисел.
№692 учебника 2023-2026 (стр. 189):
Вспомните:
№692 учебника 2014-2022 (стр. 178):
Вспомните:
№692 учебника 2023-2026 (стр. 189):
а) \(\small 0{,}3^{-3}+\left(\dfrac{3}{7}\right)^{-1}+(-0{,}5)^{-2}\cdot\dfrac{3}{4}+(-1)^{-8}\cdot6=\)
\(\small =\left(\frac{3}{10}\right)^{-3}+\dfrac{7}{3}+\left(\frac{1}{2}\right)^{-2}\cdot\dfrac{3}{4}+\frac{1}{(-1)^8}\cdot6=\)
\(\small =\left(\frac{10}{3}\right)^{3}+\dfrac{7}{3}+2^{2}\cdot\dfrac{3}{4}+6=\)
\(\small =\frac{1000}{27}+\dfrac{7}{3}^{\color{red}{\backslash{9}}}+3+6=\)
\(\small =\frac{1000}{27}+\dfrac{63}{27}+9=\frac{1063}{27}+9=\)
\(=39\frac{10}{27}+9=48\frac{10}{27}.\)
б) \(\small \left(\dfrac{2}{3}\right)^{-2}-\left(\dfrac{1}{9}\right)^{-1}+\left(\dfrac{6}{17}\right)^0\cdot\dfrac{1}{8}-0{,}25^{-2}\cdot16=\)
\(\small= \left(\dfrac{3}{2}\right)^{2}-9+\frac{1}{8}-\left(\dfrac{1}{4}\right)^{-2}\cdot16=\)
\(\small=\dfrac{9}{4}^{\color{red}{\backslash{2}}}-9+\frac{1}{8}-4^{2}\cdot16=\)
\(\small=\dfrac{18}{8}-\frac{72}{8}+\frac{1}{8}-256=-\dfrac{53}{8}-256=\)
\(=-6\dfrac{5}{8}-256=-262\dfrac{5}{8}.\)
Пояснения:
Используемые правила:
1) \(a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}\).
2) \(a^0=1\), если \(a\ne0\).
3) При возведении отрицательного числа в чётную степень получается положительное число.
4) При сложении и вычитании дробей с разными знаменателями, приводим дроби к общему знаменателю, а затем выполняем действие.
5) Прежде, чем возводить десятичную дробь в отрицательную степень, записываем ее в виде обыкновенной дроби, затем используем то, что \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\dfrac{b}{a}\right)^{n}\)
№692 учебника 2014-2022 (стр. 178):
а) Пусть \(n\) - искомое натуральное число.
\(1; 2; 3; \dots; n\) - арифметическая прогрессия с разностью \(d = 1\).
\(a_1 = 1\), \(a_n = n\)
\(S_{n-1} \) - сумма чисел от 1 до \(n\).
\(5a_n = S_{n-1}\)
\(S_{n-1} = \frac{2a_1 + d(n-1-1)}{2}\cdot(n-1)=\)
\(=\frac{2\cdot1+ 1\cdot(n - 2)}{2} \cdot (n-1) = \)
\(=\frac{2 + n - 2}{2} \cdot (n - 1)=\)
\(=\frac{n(n-1)}{2}\).
\(5n = \frac{n(n-1)}{2}\) \(/\times2\)
\(10n = n(n-1)\)
\(10n = n^2 - n\)
\(n^2 - n - 10 n = 0\)
\(n^2 - 11n = 0\)
\(n(n - 11) = 0\)
\(n = 0 \notin N\) или \(n - 11 = 0\)
\(n = 11 \in N\)
Ответ: число \(11\).
б) Пусть \(n\) - искомое натуральное число.
\(1; 2; 3; \dots; n\) - арифметическая прогрессия с разностью \(d = 1\).
\(a_1 = 1\), \(a_n = n\)
\(S_{n-1} \) - сумма чисел от 1 до \(n\).
\(a_n = S_{n-1}\)
\(S_{n-1} = \frac{2a_1 + (n-1-1)d}{2}\cdot(n-1)=\)
\(=\frac{2\cdot1+ (n - 2)\cdot1}{2} \cdot (n-1) = \)
\(=\frac{2 + n - 2}{2} \cdot (n - 1)=\)
\(=\frac{n(n-1)}{2}\).
\(n = \frac{n(n-1)}{2}\) \(/\times2\)
\(2n = n(n - 1)\)
\(2n = n^2 - n\)
\(n^2 - n - 2n = 0\)
\(n^2 -3n = 0\)
\(n(n - 3) = 0\)
\(n = 0 \notin N\) или \(n - 3 = 0\)
\(n = 3 \in N\)
Ответ: число \(3\).
Пояснения:
Используемые правила и формулы:
1) Все натуральные числа образуют арифметическую прогрессию с разностью \(d=1\).
2) Формула суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии:
\(S_{n} = \frac{2a_1 + d(n - 1)}{2} \cdot n\).
3) Для натурального числа \(n\) сумма предшествующих ему чисел равна сумме от \(1\) до \(n-1\).
4) Неполное квадратное уравнение
\(ax^2 + bx = 0\)
решается через разложение на множители (выносим \(x\) за скобки), а затем учитываем то, что произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
Вернуться к содержанию учебника