Упражнение 689 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 189

а) \(\small \dfrac{\sqrt{\sqrt{18}-3}\cdot\sqrt{\sqrt{18}+3}}{\sqrt{6}}=\sqrt{1{,}5};\)

\(\small \dfrac{\sqrt{\sqrt{18}-3}\cdot\sqrt{\sqrt{18}+3}}{\sqrt{6}}=\)

\(=\small \dfrac{\sqrt{(\sqrt{18}-3)(\sqrt{18}+3)}}{\sqrt{6}}=\)

\(=\small \dfrac{\sqrt{(\sqrt{18})^2-3^2}}{\sqrt{6}}=\dfrac{\sqrt{18-9}}{\sqrt{6}}=\)

\(=\small \dfrac{\sqrt{9}}{\sqrt{6}}=\sqrt{\frac{9}{6}}=\sqrt{1,5.}\)

\(\sqrt{1{,}5}=\sqrt{1{,}5}\) - верно. 

б) \(\small \dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{7+\sqrt{24}}\cdot\sqrt{7-\sqrt{24}}}=\sqrt{0{,}4}.\)

\(=\small \dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{7+\sqrt{24}}\cdot\sqrt{7-\sqrt{24}}}=\)

\(=\small \dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{(7+\sqrt{24})(7-\sqrt{24})}}=\)

\(=\small \dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{49-(\sqrt{24})^2}}=\dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{49-24}}=\)

\(\small =\dfrac{\sqrt{10}}{\sqrt{25}}=\sqrt{\frac{10}{25}}=\sqrt{0{,}4}.\)

\(\sqrt{0{,}4}=\sqrt{0{,}4}\) - верно.

Пояснения:

Чтобы доказать равенства преобразуем левую часть равенства, для этого используем:

1) Для любых действительных чисел \(a\) и \(b\) таких, что \(a\geq0\)  и \(b\geq0\), выполняется равенство \(\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}.\) 

2) Формула разности квадратов:

\[(a-b)(a+b)=a^2-b^2.\]

3) Для любых действительных чисел \(a\) и \(b\) таких, что \(a\geq0\)  и \(b>0\), выполняется равенство \(\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt a}{\sqrt{b}}.\)