Упражнение 690 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 189

а) \(\small \sqrt{19-6\sqrt{10}}=\sqrt{10}-3\) 

\(\small \biggl(\sqrt{19-6\sqrt{10}}\biggr)^2=(\sqrt{10}-3)^2\)

\(\small 19-6\sqrt{10}=10-6\sqrt{10}+9\)

\(\small 19-6\sqrt{10}=19-6\sqrt{10}\) - верно.

б) \(\small \sqrt{23-8\sqrt{7}}=4-\sqrt{7}\)

\(\small \biggl(\sqrt{23-8\sqrt{7}}\biggr)^2=(4-\sqrt{7})^2\)

\(\small {23-8\sqrt{7}}=16-8\sqrt{7}+7\)

\(\small {23-8\sqrt{7}}=23-8\sqrt{7}\) - верно.

Пояснения:

Так как обе части равенства положительны, то для доказательства того, что они верны, используем метод возведения обоих частей в квадрат.

При этом используем:

1) Формула квадрата разности:

\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2.\)

2) Для любого неотрицательного числа \(a\) справедливо, что: \(\sqrt a \geq0\) и \(\bigl(\sqrt a \bigr)^2=a.\)