Упражнение 679 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(n = 15\)

\[S_5=\frac{11}{64}\]

\[S_{6-10}=-5\dfrac{1}{2}=-\frac{11}{2}\]

\(S_{11-15} - ?\)

\(S_{10}=S_5 + S_{6-10}\)

\(S_{10}=\frac{11}{64}+\left(-\frac{11}{2} ^{\color{blue}{\backslash32}} \right)=\)

\(=\frac{11}{64}-\frac{352}{64}=-\frac{341}{64}.\)

\(S_n=\dfrac{x_1(q^n - 1)}{q-1}\)

\(S_5=\frac{x_1(q^5-1)}{q-1},\)

\(S_{10}=\frac{x_1(q^{10}-1)}{q-1}\)

\[\frac{S_{10}}{S_5}=\dfrac{\dfrac{x_1(q^{10}-1)}{q-1}}{\dfrac{x_1(q^{5}-1)}{q-1}}\]

\[\frac{S_{10}}{S_5}=\frac{q^{10}-1}{q^5-1}\]

\[\frac{-\frac{341}{64}}{\frac{11}{64}}=\frac{q^{10}-1}{q^5-1}\]

\[\frac{q^{10}-1}{q^5-1}=-31\]

\[\frac{(q^{5})^2-1}{q^5-1}=-31\]

\[\frac{\cancel{(q^5-1)}(q^5+1)}{\cancel{q^5-1}}=-31\]

\[q^5+1=-31\]

\[q^5=-31-1\]

\[q^5=-32\]

\[q^5=(-2)^5\]

\[q=-2\]

\(S_5=\frac{x_1((-2)^5-1)}{-2-1}\)

\(S_5=\frac{x_1(-32-1)}{-3}\)

\(S_5=\frac{-33x_1}{-3}\)

\(S_5=11x_1\)

\(11x_1 = \frac{11}{64}\)

\(x_1 = \frac{11}{64} : 11\)

\(x_1 = \frac{1}{64} \)

\(S_{11-15}=S_{15} - S_{10}=\)

\(=\dfrac{x_1(q^{15} - 1)}{q-1}-\dfrac{x_1(q^{10} - 1)}{q-1}=\)

\(=\dfrac{x_1}{q-1}((q^{15} - 1) - (q^{10} - 1))=\)

\(=\dfrac{x_1}{q-1}(q^{15} - 1 - q^{10} + 1)=\)

\(=\dfrac{x_1}{q-1}(q^{15} - q^{10})=\)

\(=\dfrac{x_1q^{10}}{q-1}(q^{5} - 1)=\)

\(=\dfrac{\dfrac{1}{64}\cdot(-2)^{10}}{-2-1}\cdot((-2)^{5} - 1)=\)

\(=\dfrac{\dfrac{1}{2^6}\cdot2^{10}}{-3}\cdot(-32 - 1)=\)

\(=\dfrac{2^{4}}{-3}\cdot(-33)=\dfrac{16}{\cancel3}\cdot\cancel{33}  ^{\color{blue}{11}} =176\)

Ответ: \(S_{11-15}=176\).

Пояснения:

Основные формулы геометрической прогрессии:

\(S_n=\dfrac{x_1(q^n - 1)}{q-1} ,\quad (q\ne 1)\)

\[S_{m+k}-S_m=\text{сумма следующих } k \text{ членов}\]

\[1-q^{2k}=(1-q^k)(1+q^k)\]

Сначала найдём сумму первых десяти членов. По условию сумма со 6-го по 10-й член равна \(-5\dfrac{1}{2}\), то есть \(-\dfrac{11}{2}\). Поэтому:

\[S_{10}=S_5+\left(-\frac{11}{2}\right)\]

Приводим к общему знаменателю и получаем \(S_{10}=-\dfrac{341}{64}\).

Далее используем формулу суммы и делим \(S_{10}\) на \(S_5\). Получаем отношение \(-31\). С другой стороны,

\[\frac{S_{10}}{S_5}=\frac{1-q^{10}}{1-q^5}\]

Раскладываем разность степеней:

\(1-q^{10}=(1-q^5)(1+q^5)\).

Тогда дробь упрощается до \(1+q^5\).

Получаем уравнение \(1+q^5=-31\), откуда \(q^5=-32\), значит \(q=-2\).

Подставляя \(q=-2\) в формулу суммы первых пяти членов, находим первый член: \(x_1=\dfrac{1}{64}\).

Чтобы найти сумму последних пяти членов (с 11-го по 15-й), вычисляем \(S_{15}-S_{10}\).

а) \((a_n)\) - арифметическая прогрессия.

\(a_1 = 2\frac34 = \frac{11}{4}\),   \(d = \frac25\).

\[a_n=a_1+(n-1)d\]

\(a_n = 14\frac{3}{4} =\frac{59}{4}\)

\(\frac{11}{4}+(n-1)\cdot\frac{2}{5}=\frac{59}{4}\)

\(\frac{11}{4}+\frac{2(n-1)}{5}=\frac{59}{4}\)

\(\frac{2(n-1)}{5}=\frac{59}{4}-\frac{11}{4}\)

\(\frac{2(n-1)}{5}=\frac{48}{4}\)

\(\frac{2(n-1)}{5}=12\)   \(/\times5\)

\(2(n-1)=60\)   \(/ : 2\)

\(n-1=30\)

\(n = 30 + 1\)

\(n=31 \in N\)

Ответ: число \(14\frac{3}{4}\) является членом прогрессии.

б) \((a_n)\) - арифметическая прогрессия.

\(a_1 = 2\frac34 = 2,75\),

\(d = \frac25 = 0,4\).

\[a_n=a_1+(n-1)d\]

\(a_n = 8,35\)

\(2,75 + (n - 1)\cdot0,4 = 8,35\)

\((n - 1)\cdot0,4 = 8,35 - 2,75\)

\((n - 1)\cdot0,4 =5,6\)

\(n - 1 = \frac{5,6}{0,4}\)

\(n - 1 = \frac{56}{4}\)

\(n-1=14\)

\(n = 14 + 1\)

\(n=15 \in N\)

Ответ: число \(8{,}35\) является членом прогрессии.

Пояснения:

Используемые правила и формулы:

1) Формула \(n\)-го члена арифметической прогрессии:

\[a_n=a_1+(n-1)d.\]

2) Смешанное число переводится в неправильную дробь.

3) Десятичную дробь можно представить в виде обыкновенной наоборот.

Проверка принадлежности числу прогрессии.

Число является членом арифметической прогрессии тогда и только тогда, когда уравнение

\(a_1+(n-1)d=a_n\) имеет натуральное решение \(n\), то есть \(n \in N\).