Упражнение 627 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(1{,}5x - x^2 \le 0\)

\(-x^2 + 1{,}5x \le 0\)

\(y=-x^2 + 1{,}5x\) - парабола, ветви которой направлены вниз, так как \(a=-1<0.\)

\(-x^2 + 1{,}5x=0\)

\(-x(x - 1{,}5)= 0\)

\(x = 0\)   или \(x -1{,}5=0\)

                       \(x=1,5\)

Ответ: \(x\in(-\infty; 0]\cup[1,5; + \infty).\)

б) \(x^2 + x + 6 > 0\)

\(y=x^2 + x + 6 \) -  парабола, ветви которой направлены вверх, так как \(a=1>0.\)

\(x^2 + x + 6 =0\)

\(D = b^2-4ac=1^2 - 4\cdot1\cdot6 =\)

\(= 1 - 24 = -23<0\) - корней нет. 

Ответ: \(x\in(-\infty; +\infty)\).

Пояснения:

Решение неравенств вида

\(ax^2 + bx + c > 0\) и \(ax^2 + bx + c < 0\):

1) находим дискриминант квадратного трехчлена \(ax^2 + bx + c\) и выясняем имеет ли трехчлен корни;

2) если трехчлен имеет корни, то отмечаем их на оси \(x\) и через отмеченные точки проводим схематически параболу, ветви которой направлены вверх при \(a > 0\) или вниз при \(a < 0\); если трехчлен не имеет корней, то схематически изображают параболу, расположенную в верхней полуплоскости при \(a > 0\) или нижней при \(a < 0\);

3) находят на оси \(x\) промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси \(x\) (если решают неравенство \(ax^2 + bx + c > 0\)) или ниже оси \(x\) (если решают неравенство \(ax^2 + bx + c < 0\)).

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.

Дискриминант квадратного трехчлена

\(ax^2 + bx + c \):

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то квадратный трехчлен имеет 2 корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).

Если \(D = 0\), то квадратный трехчлен имеет 1 корень:

\(x = -\frac{b}{2a}\).

Если \(D < 0\), то квадратный трехчлен не имеет корней.

В случае, когда коэффициент \(c = 0\), то есть имеем двучлен \(ax^2 + bx\), корни находим разложением многочлена на множители \(x(ax + b)\) и используем то, что произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю: \(x = 0\)  или \(ax + b = 0\), откуда \(x = -\frac{b}{a}\).

а) \(b_1 = 2,\ b_2 = -6\)

\(q =\frac{b_2}{b_1}= \dfrac{-6}{2} = -3\).

\(b_7 =b_1\cdot q^{7-1}= 2\cdot(-3)^{7-1} =\)

\(=2\cdot(-3)^6 = 2\cdot729 = 1458\).

\(b_n = 2\cdot(-3)^{n-1}\).

б) \(b_1 = -40,\ b_2 = -20\)

\(q =\frac{b_2}{b_1}= \dfrac{-20}{-40} = \dfrac12\).

\(b_7 =b_1\cdot q^{7-1}= -40\cdot\left(\dfrac12\right)^{7-1} =\)

\(=-40\cdot\left(\dfrac12\right)^6 = -\dfrac{40}{64} = -\dfrac{5}{8}\).

\(b_n = -40\cdot\left(\dfrac12\right)^{n-1}\).

в) \(b_1 = -0{,}125,\ b_2 = 0{,}25\)

\(q =\frac{b_2}{b_1}= \dfrac{0{,}25}{-0{,}125} = -2\).

\(b_7 =b_1\cdot q^{7-1}= -0{,}125\cdot(-2)^{7-1} =\)

\(=-0{,}125\cdot(-2)^6 =-0{,}125\cdot64 = -8\).

\(b_n = -0{,}125\cdot(-2)^{n-1}\).

г) \(b_1 = -10,\ b_2 = 10\)

\(q =\frac{b_2}{b_1}= \dfrac{10}{-10} = -1\).

\(b_7 =b_1\cdot q^{7-1}= -10\cdot(-1)^{7-1} =\)

\(=-10\cdot(-1)^6 = -10\).

\(b_n = -10\cdot(-1)^{n-1}\).

Пояснения:

Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число \(q\), называемое знаменателем прогрессии.

Знаменатель геометрической прогрессии находится по формуле:

\( q = \dfrac{b_{n+1}}{b_n}. \)

Формула \(n\)-го члена геометрической прогрессии имеет вид:

\[ b_n = b_1 \cdot q^{\,n-1}. \]

Чтобы найти седьмой член прогрессии, в формулу подставляется \(n = 7\). Для нахождения \(n\)-го члена формула записывается в общем виде.

В пунктах а) и в) знаменатель по модулю больше 1, поэтому значения членов прогрессии быстро увеличиваются по модулю.

В пункте б) знаменатель меньше 1, поэтому члены прогрессии уменьшаются по модулю.

В пункте г) знаменатель равен \(-1\), поэтому значения членов прогрессии чередуются по знаку и повторяются по модулю.