Упражнение 623 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 178

\(b_2 = 6\); \(b_4 = 54\)

\(|b_3|=\sqrt{b_2\cdot b_4}=\sqrt{6\cdot54}=\)

\(=\sqrt{324}=18\), т.к. все члены прогрессии положительны, то \(b_3=18.\)

\(q=\frac{b_3}{b_1}=\frac{18}{6}=3.\)

\(b_1 = \dfrac{b_2}{q} = \dfrac{6}{3} = 2\).

\(\small S_7 = \dfrac{b_1\cdot(q^7-1)}{q-1} =\dfrac{ 2\cdot(3^7-1)}{3-1}=\)

\(=\dfrac{ 2\cdot(2187-1)}{2}=2186\)

Ответ: \(S_7 = 2186.\)

Пояснения:

1. Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число \(q\), называемое знаменателем прогрессии. Справедливо, что:

\(b_{n+1}=b_{n}q\), откуда, \(q=\frac{b_{n+1}}{b_n}.\)

2. Формула \(n\)-го члена геометрической прогрессии:

\[ b_n = b_1 \cdot q^{\,n-1}. \]

3. Свойство геометрической прогрессии:

Квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего ее членов.

\(b_n^2=b_{n-1}\cdot b_{n+1},\) следовательно,  \(|b_n|=\sqrt{b_{n-1}\cdot b_{n+1}}.\)

4. Сумма первых \(n\) членов геометрической прогрессии при \(q \ne 1\) вычисляется по формуле:

\(S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}\)