Вернуться к содержанию учебника
В геометрической прогрессии, все члены которой положительны, сумма первых двух членов равна 8, а сумма третьего и четвёртого членов равна 72. Сколько членов этой прогрессии, начиная с первого, надо сложить, чтобы получить в сумме 242?
Вспомните:
Пусть \(b_1\) — первый член, \(q\) — знаменатель геометрической прогрессии.
\( \begin{cases} b_1 + b_2 = 8 \\ b_3 + b_4 = 72 \end{cases} \)
\( \begin{cases} b_1 + b_1q = 8 \\b_1q^2 + b_1q^3 = 72 \end{cases} \)
\( \begin{cases} b_1(1+q)=8 \\b_1q^2(1+q)=72 \end{cases} \)
Разделим второе уравнение на первое:
\(\dfrac{b_1q^2(1+q)}{b_1(1+q)}=\dfrac{72}{8}\).
\(q^2=9\)
Откуда:
\(q=3\)
или
\(q=-3\) - не удовлетворяет условию.
\(b_1(1+q)=8\)
\(b_1(1+3)=8\)
\(b_1=2\).
\(S_n=\dfrac{b_1\cdot(q^n-1)}{q-1}\).
\(S_n=242\) - тогда.
\(242=2\cdot\dfrac{3^n-1}{2}\)
\(3^n-1=242\)
\(3^n=243\)
\(3^n=3^5\).
\(n=5\).
Ответ: нужно сложить первые \(5\) членов прогрессии.
Пояснения:
Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число \(q\), называемое знаменателем прогрессии.
Формулы, используемые в задаче:
Формула \(n\)-го члена геометрической прогрессии:
\[ b_n = b_1 \cdot q^{\,n-1}. \]
Сумма первых \(n\) членов геометрической прогрессии при \(q \ne 1\) вычисляется по формуле:
\(S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}\)
Из условий задачи были составлены два уравнения для сумм соседних членов. Делением этих уравнений найден знаменатель прогрессии \(q\). Поскольку все члены положительные, выбран положительный корень.
После нахождения первого члена и знаменателя использована формула суммы первых \(n\) членов. Решение показало, что сумма 242 получается при сложении первых пяти членов прогрессии.
Вернуться к содержанию учебника