Вернуться к содержанию учебника
В геометрической прогрессии, все члены которой положительны, сумма первых двух членов равна 8, а сумма третьего и четвёртого членов равна 72. Сколько членов этой прогрессии, начиная с первого, надо сложить, чтобы получить в сумме 242?
Введите текст
Пусть \(b_1\) — первый член, \(q\) — знаменатель геометрической прогрессии.
\(b_1 + b_2 = 8\).
\(b_1 + b_1q = 8\).
\(b_1(1+q)=8\). (1)
\(b_3 + b_4 = 72\).
\(b_1q^2 + b_1q^3 = 72\).
\(b_1q^2(1+q)=72\). (2)
Разделим (2) на (1):
\(\dfrac{b_1q^2(1+q)}{b_1(1+q)}=\dfrac{72}{8}\).
\(q^2=9\).
\(q=3\) (так как все члены положительны).
Из (1):
\(b_1(1+3)=8\).
\(b_1=2\).
Сумма первых \(n\) членов:
\(S_n=b_1\cdot\dfrac{q^n-1}{q-1}\).
\(242=2\cdot\dfrac{3^n-1}{2}\).
\(3^n-1=242\).
\(3^n=243\).
\(n=5\).
Пояснения:
Геометрическая прогрессия — это последовательность, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число \(q\).
Формулы, используемые в задаче:
\[ b_n=b_1\cdot q^{\,n-1}, \]
\[ S_n=b_1\cdot\frac{q^n-1}{q-1},\quad q\neq1. \]
Из условий задачи были составлены два уравнения для сумм соседних членов. Делением этих уравнений найден знаменатель прогрессии \(q\). Поскольку все члены положительные, выбран положительный корень.
После нахождения первого члена и знаменателя использована формула суммы первых \(n\) членов. Решение показало, что сумма 242 получается при сложении первых пяти членов прогрессии.
Ответ: нужно сложить первые \(5\) членов прогрессии.
Вернуться к содержанию учебника