Упражнение 632 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 182

\(1\cdot 4+2\cdot 7+3\cdot 10+\dots+n(3n+1)=n(n+1)^2\)

1) При \(n=1\):

\(1\cdot(3\cdot1+1)=1\cdot(1+1)^2\)

\(3 + 1 = 2^2\)

\(4 = 4\) - верно.

2) Пусть равенство верно при \(n = k\):

\[1\cdot 4+2\cdot 7+\dots+k(3k+1)=k(k+1)^2.\]

Докажем для \(n=k+1\):

\[1\cdot 4+2\cdot 7+\dots+k(3k+1)+(k+1)(3(k+1)+1)=\]

\[=k(k+1)^2+(k+1)(3k+4)=\]

\[=(k+1)\left(k(k+1)+(3k+4)\right)=\]

\[=(k+1)\left(k^2+k+3k+4\right)=\]

\[=(k+1)\left(k^2+4k+4\right)\]

\[=(k+1)(k+2)^2\]

\[=(k+1)\bigl((k+1)+1\bigr)^2.\]

Равенство верно при \(n =k+1\). Значит, оно верно при любом натуральном \(n\).

Пояснения:

Используемые правила и приёмы:

1) Математическая индукция. Чтобы доказать утверждение для всех \(n\in\mathbb{N}\), нужно:

а) доказать для \(n=1\);

б) предположить верность для \(n=k\) и вывести из этого верность для \(n=k+1\).

2) Вынесение общего множителя:

\(ab+ac=a(b+c)\).

3) Формула квадрата суммы:

\[(x+y)^2=x^2+2xy+y^2.\]