Упражнение 629 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 181

\[1^3+2^3+3^3+\ldots+n^3=\dfrac{n^2(n+1)^2}{4}\]

Если \(n = 1\), то

\[1^3=\dfrac{1^2(1+1)^2}{4}\]

\[1=\dfrac{1\cdot2^2}{4}\]

\[1=\dfrac{4}{4}\]

\(1 = 1\) - верно.

Если \(n=2\), то

\(1^3+2^3=\dfrac{2^2(2+1)^2}{4}\)

\(1+8=\dfrac{4\cdot3^2}{4}\)

\(9=\dfrac{\cancel4\cdot3^2}{\cancel4}\)

\(9=9\) - верно.

Если \(n=3\), то

\(1^3+2^3+3^3=\dfrac{3^2(3+1)^2}{4}\)

\(1+8+27=\dfrac{9\cdot4^2}{4}\)

\(36 = \dfrac{9\cdot\cancel{16}  ^{\color{blue}{4}} }{\cancel4}\)

\(36 = 36\) - верно.

Доказательство:

1) При \(n = 1\) формула верна.

2) Пусть при \(n = k\) верно:

\(1^3+2^3+\ldots+k^3=\dfrac{k^2(k+1)^2}{4}\)

Тогда для \(n = k+1\):

\(1^3+2^3+\ldots+k^3+(k+1)^3=\)

\(\dfrac{k^2(k+1)^2}{4}+(k+1)^3  ^{\color{blue}{\backslash4}} =\)

\(=\dfrac{(k+1)^2\cdot k^2}{4}+\dfrac{4(k+1)^3}{4}=\)

\(=\dfrac{(k+1)^2\cdot k^2 + 4(k+1)^3}{4}=\)

\(=\dfrac{(k+1)^2\left(k^2+4(k+1)\right)}{4}=\)

\(=\dfrac{(k+1)^2\left(k^2+4k+4\right)}{4}=\)

\(=\dfrac{(k+1)^2(k+2)^2}{4} =\)

\(=\dfrac{(k+1)^2((k+1)+1)^2}{4}\)

Значит, формула верна для \(n =k+1\), тогда она верна при любом натуральном \(n\).

Что и требовалось доказать.

Пояснения:

Сначала формулу проверяют подстановкой небольших значений \(n\). Это показывает, что равенство действительно выполняется для \(n=1,2,3\).

Чтобы доказать формулу для всех натуральных \(n\), используется математическая индукция.

1) База индукции: проверяем верность формулы при \(n=1\).

2) Индукционный шаг: предполагаем, что формула верна для некоторого \(n=k\), и доказываем, что она верна для \(n=k+1\). Для этого к обеим частям суммы добавляется \((k+1)^3\), затем выражение приводится к общему знаменателю и упрощается до нужного вида \(\dfrac{(k+1)^2((k+1)+1)^2}{4}\).

После выполнения этих двух шагов делаем вывод, что формула справедлива для любого натурального \(n\).