Упражнение 630 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 181

\[1\cdot 2+2\cdot 3+3\cdot 4+\dots+n(n+1)=\frac13\,n(n+1)(n+2)\]

1) При \(n = 1\):

\[1\cdot 2=\frac13\cdot1\cdot(1+1)(1+2)\]

\[ 2=\frac{1}{\cancel3}\cdot2\cdot\cancel3\]

\(2 = 2\) - верно.

2) Пусть при \(n = k\) равенство верно:

\[1\cdot 2+2\cdot 3+3\cdot 4+\dots+k(k+1)=\frac13\,k(k+1)(k+2)\]

При \(n = k+1\):

\(1\cdot 2+2\cdot 3+\dots+k(k+1)+(k+1)(k+2)=\)

\(=\frac13\,k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+2)=\)

\(=(k+1)(k+2)\left(\frac13\,k+1\right)=\)

\(=(k+1)(k+2)\cdot\frac{1}{3}(k+3)=\)

\(=\frac13\,(k+1)(k+2)(k+3).\)

Равенство верно при \(n = k + 1\), значит, равенство верно при любом натуральном \(n\).

Пояснения:

Математическая индукция. Чтобы доказать утверждение для всех \(n\in\mathbb{N}\), нужно:

1)) проверить верность при \(n=1\) (база индукции);

2) предположить, что утверждение верно при некотором \(n = k\) (индукционное предположение), и доказать, что тогда оно верно при \(n=k+1\) (индукционный переход).