Упражнение 631 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 181

\[S_n=\frac{n}{n+1}.\]

\(\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\dots+\frac{1}{n(n+1)} = \frac{n}{n+1}\)

1) При \(n = 1\):

\[\frac{1}{1\cdot 2}= \frac{1}{1+1}\]

\(\frac{1}{2}= \frac{1}{2}\) - верно.

2) Пусть при \(n = k\) равенство верно:

\(\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\dots+\frac{1}{k(k+1)} = \frac{k}{k+1}\).

При \(n = k+1\):

\(\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\dots+\frac{1}{k(k+1)} + \frac{1}{(k+1)(k+2)} =\)

\(=\frac{k}{k+1} ^{\color{blue}{\backslash k+2}} + \frac{1}{(k+1)(k+2)} =\)

\(=\frac{k(k+2) + 1}{(k+1)(k+2)}=\)

\(=\frac{k^2+2k + 1}{(k+1)(k+2)}=\)

\(=\frac{(k + 1)^{\cancel2}}{\cancel{(k+1)}(k+2)}=\)

\(=\frac{k + 1}{k+2} =\frac{k + 1}{(k+1)+1}.\)

Формула верна при \(n = k+1\), значит, формула верна при любом натуральном \(n\).

Пояснения:

Чтобы доказать формулу для всех натуральных \(n\), используется математическая индукция.

1) База индукции: проверяем верность формулы при \(n=1\).

2) Индукционный шаг: предполагаем, что формула верна для некоторого \(n=k\), и доказываем, что она верна для \(n=k+1\). Для этого к обеим частям равенства добавляется \(\frac{1}{(k+1)(k+2)}\), затем выражение приводится к общему знаменателю и упрощается до нужного вида \(\frac{k + 1}{(k+1)+1}\).

После выполнения этих двух шагов делаем вывод, что формула справедлива для любого натурального \(n\).