Упражнение 307 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \((x^{2} + 8x)^{2} - 4(x + 4)^{2} = 256\)

\((x^{2} + 8x)^{2} - 4(x^2 + 8x + 16) = 256\)

Пусть \(x^2 + 8x = t\)

\(t^2 - 4(t + 16) = 256\)

\(t^2 - 4t - 64 - 256 = 0\)

\(t^2 - 4t - 320 = 0\)

\(D = (-4)^2 - 4\cdot1\cdot (-320) =\)

\(=16 + 1280 = 1296 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt{1296} = 36\).

\(t_1 = \frac{4 + 36}{2\cdot1} = \frac{40}{2} = 20\).

\(t_2 = \frac{4 - 36}{2\cdot1} = \frac{-32}{2} = -16\).

1) Если \(t = 10\), то

\(x^2 + 8x = 20\)

\(x^2 + 8x - 20 = 0\)

\(D = 8^2 - 4\cdot1\cdot(-20) =\)

\(=64 + 80 = 144 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt {144}  = 12\).

\(x_1 = \frac{-8 + 12}{2\cdot1} =\frac{4}{2} = 2 \).

\(x_2 = \frac{-8 - 12}{2\cdot1} =\frac{-20}{2} = -10 \).

2) Если \(t = -16\), то

\(x^2 + 8x = -16\)

\(x^2 + 8x + 16 = 0\)

\(D = 8^2 - 4\cdot1\cdot16 = \)

\( = 64 - 64 = 0\) - 1 корень.

\(x = \frac{-8}{2\cdot1} = -\frac{8}{2} = -4\).

Ответ: \( -10;\; -4;\; 2\).

б) \(2(x^{2} - 6x)^{2} - 120(x - 3)^{2} = 8\)  \(/ : 2\)

\((x^{2} - 6x)^{2} - 60(x - 3)^{2} = 4\)

\((x^{2} - 6x)^{2} - 60(x^2 -6x + 9) = 4\)

Пусть \(x^{2} - 6x = t\).

\(t^2 -60(t + 9) = 4\)

\(t^2 - 60t - 540 - 4 = 0\)

\( t^2 - 60t - 544 = 0\)

\(D = (-60)^2 - 4\cdot1\cdot(-544) = \)

\( = 3600 + 2176 = 5776 > 0\) - корня.

\(\sqrt {5776} = 76\).

\(t_1 = \frac{60 + 76}{2\cdot1} = \frac{136}{2} = 68\).

\(t_2 = \frac{60 - 76}{2\cdot1} = \frac{-16}{2} = -8\).

1) Если \(t = 68\), то

\(x^{2} - 6x = 68\)

\(x^{2} - 6x - 68=0\)

\(D = (-6)^2 - 4\cdot1\cdot(-68) = \)

\( = 36 + 272 = 308 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt {308} = \sqrt{4\cdot77} = 2\sqrt{77}\).

\(x_{1,2} = \frac{6 \pm 2\sqrt77}{2} = 3 \pm 2\sqrt{77}\).

2) Если \(t = -8\), то

\(x^{2} - 6x = -8\)

\(x^{2} - 6x + 8 = 0\)

\(D = (-6)^2 - 4\cdot1\cdot 8 = \)

\(=36 - 32 = 4 > 0 \) - 2 корня.

\(\sqrt4 = 2\).

\(x_1 = \frac{6 + 2}{2\cdot1} = \frac{8}{2} = 4\).

\(x_2 = \frac{6 - 2}{2\cdot1} = \frac{4}{2} = 2\).

Ответ: \( 2;\; 4;\; 3 - \sqrt{77};\; 3 + \sqrt{77}\).

Пояснения:

В обоих уравнениях сначала применяем формулы квадрата суммы и квадрата разности:

- в пункте а)

\((x + 4)^2 = x^2 + 8x + 16\);

- в пункте б)

\((x - 3)^2 = x^2 -6x + 9\).

Это позволяет ввести новую переменную \(t\):

- в пункте а) \(x^2 + 8x = t\);

- в пункте б) \(x^{2} - 6x = t\).

После замены получаем обычное квадратное уравнение относительно \(t\), которое приводим к виду \[ at^{2} + bt + c = 0 \] и находим корни через дискриминант:

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:

\(t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a} \).

На последнем шаге возвращаемся к исходной переменной \(x\), и решаем квадратные уравнения через дискриминант относительно переменной \(x\).

а) \(2x^2 + 5x + 3 > 0\)

\(y = 2x^2 + 5x + 3 \) - парабола, ветви которой направлены вверх, так как \(a = 2 > 0\).

\(2x^2 + 5x + 3 = 0\)

\(D = 5^2 - 4\cdot 2 \cdot 3 = \)

\(=25 - 24 = 1 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt 1 = 1\).

\(x_{1} = \dfrac{-5 - 1}{2\cdot 2} = \dfrac{-6}{4} = -\dfrac{3}{2} = -1,5\)

\(x_{2} = \dfrac{-5 + 1}{2\cdot 2} = \dfrac{-4}{4} = -1\)

Ответ: \(x \in (-\infty; -1,5) \cup (-1; +\infty)\).

б) \(-x^2 - \dfrac{1}{3}x - \dfrac{1}{36}<0\)

\(y = -x^2 - \dfrac{1}{3}x - \dfrac{1}{36}\) - парабола, ветви которой направлены вниз, так как \(a = -1 < 0\).

\(-x^2 - \dfrac{1}{3}x - \dfrac{1}{36}=0\)   \(/\times (-36)\)

\(36x^2 + 12x + 1 =0\)

\(D = 12^2 - 4\cdot36 \cdot1=\)

\(=144 - 144= 0\) - 1 корень.

\(x = -\dfrac{12}{2\cdot36} = -\dfrac{12}{72} = -\frac16\)

Ответ: \(x \in \bigg(-\infty ; -\frac16\bigg) \cup \bigg( -\frac16; +\infty\bigg)\).

Пояснения:

Решение неравенств вида

\(ax^2 + bx + c > 0\) и \(ax^2 + bx + c < 0\):

1) находим дискриминант квадратного трехчлена \(ax^2 + bx + c\) и выясняем имеет ли трехчлен корни;

2) если трехчлен имеет корни, то отмечаем их на оси \(x\) и через отмеченные точки проводим схематически параболу, ветви которой направлены вверх при \(a > 0\) или вниз при \(a < 0\); если трехчлен не имеет корней, то схематически изображают параболу, расположенную в верхней полуплоскости при \(a > 0\) или нижней при \(a < 0\);

3) находят на оси \(x\) промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси \(x\) (если решают неравенство \(ax^2 + bx + c > 0\)) или ниже оси \(x\) (если решают неравенство \(ax^2 + bx + c < 0\)).

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.

Дискриминант квадратного трехчлена

\(ax^2 + bx + c \):

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то квадратный трехчлен имеет 2 корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).

Если \(D = 0\), то квадратный трехчлен имеет 1 корень:

\(x = -\frac{b}{2a}\).

Если \(D < 0\), то квадратный трехчлен не имеет корней.