Упражнение 294 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\dfrac{x-5}{x+6}<0\)

\((x-5)(x+6)<0\)

\((x-5)(x+6)=0\)

\(x - 5 = 0\)   или   \(x + 6 = 0\)

\(x = 5\)                   \(x = - 6\)

Ответ: \(x \in (-6; 5)\).

б) \(\dfrac{1{,}4-x}{x+3{,}8}<0\)

\((1{,}4-x)(x+3{,}8)<0\)

\((1{,}4-x)(x+3{,}8)=0\)

\(1{,}4-x = 0\)   или   \(x + 3,8 = 0\)

\(x=1{,}4\)                   \(x=-3{,}8\)

Ответ: \(x\in (-\infty; -3,8) \cup (1,4; +\infty)\).

в) \(\dfrac{2x}{x-1{,}6}>0\)

\(2x(x-1{,}6)>0\)  \(/ : 2\)

\(x(x-1{,}6)>0\) 

\(x(x-1{,}6)=0\)

\(x=0\)   или   \(x-1{,}6 = 0\)

                       \(x = 1,6\)

Ответ: \(x\in (-\infty; 0) \cup (1,6; +\infty)\).

г) \(\dfrac{5x-1{,}5}{x-4}>0\)

\((5x-1{,}5)(x-4)>0\)

\((5x-1{,}5)(x-4)=0\)

\(5x - 1,5 = 0\)   или   \( x - 4 = 0\)

\(5x = 1,5\)                   \(x = 4\)

\(x = \frac{1,5}{5}\)

\(x = 0,3\)

Ответ: \(x\in (-\infty; 0,3) \cup (4; +\infty)\).

д) \(\dfrac{5x+1}{x-2}>0\)

\((5x+1)(x-2)>0\)

\((5x+1)(x-2)=0\)

\(5x+1=0\)   или   \(x - 2 = 0\)

\(5x = - 1\)                \(x = 2\)

\(x=-\dfrac15\)

\(x=-0{,}2\)

Ответ: \(x\in (-\infty; 0,2) \cup (2; +\infty)\).

е) \(\dfrac{3x}{2x+9}<0\)

\(3x(2x+9)<0\)   \(/ : 3\)

\(x(2x+9)<0\) 

\(x(2x+9)=0\)

\(x = 0\)   или   \(2x + 9 = 0\)

                       \(2x = -9\)

                       \(x = -\frac92\)

                       \(x = -4,5\)

Ответ: \(x \in (-4,5; 0)\).

Пояснения:

При всех значениях \(x\), при которых дробь \(\frac{x - a}{x-b}\) имеет смысл, знак этой дроби совпадает со знаком произведения \((x - a)(x-b)\), поэтому неравенства \(\frac{x - a}{x-b} < 0\) и \(\frac{x - a}{x-b} > 0\) равносильны неравенствам \((x - a)(x-b) < 0\) и \((x - a)(x-b) > 0\) соответственно, которые решаем методом интервалов.

Метод интервалов применяется к произведению вида \((x-a)(x-b)\dots\).

Находим нули каждого множителя — это точки, в которых знак выражения меняется.

Отмечаем точки на числовой прямой и определяем знак выражения на каждом интервале. Достаточно определить знак на одном интервале, а на остальных расставить знаки так, чтобы они чередовались. Чтобы определить знак на одном из интервалов, нужно взять какое-нибудь значение из рассматриваемого интервала и определить знак функции при этом значении.

Если знак требуется «>0» — берём интервалы со знаком "+", без корней; если «<0» — интервалы со знаком "–", без корней.

Также помним свойство неравенств:

если \(a < b\) и \(c\) - положительное число, то \(ac < bc\), то есть если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

У \(+\infty\) и \(-\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.

а) \(\dfrac{1}{x-4}+\dfrac{1}{x-2}=\dfrac{1}{x+4}+\dfrac{1}{x-5}\)

ОДЗ:

\(x - 4 \ne 0, \Rightarrow x\neq 4;\)

\(x - 2 \ne0, \Rightarrow x\neq 2;\)

\(x + 4 \ne 0, \Rightarrow  x\neq -4;\)

\(x - 5 \ne 0, \Rightarrow x\neq 5. \)

\(\dfrac{1}{x-4} ^{\color{blue}{\backslash x+4}} -\dfrac{1}{x+4} ^{\color{blue}{\backslash x - 4}} =\dfrac{1}{x-5} ^{\color{blue}{\backslash x -2}} - \dfrac{1}{x-2} ^{\color{blue}{\backslash x -5}} \)

\(\dfrac{(x+4)-(x-4)}{(x-4)(x+4)} = \dfrac{(x-2)-(x-5)}{(x-5)(x-2)}\)

\(\dfrac{\cancel x+4-\cancel x+4}{(x-4)(x+4)} = \dfrac{\cancel x-2-\cancel x+5}{(x-5)(x-2)}\)

\(\dfrac{8}{(x-4)(x+4)} = \dfrac{3}{(x-5)(x-2)}\)

\(8(x-5)(x-2) = 3(x-4)(x+4)\)

\(8(x^2 - 2x -5x + 10) =3(x^2 - 16)\)

\(8(x^2 - 7x + 10) =3x^2 - 48\)

\(8x^2 - 56x + 80 =3x^2 - 48\)

\(8x^2 - 56x + 80 - 3x^2 + 48 = 0\)

\(5x^2 - 56x + 128 = 0\)

\(a = 5\),  \(b = -56\),  \(c = 128\)

\( D = b^2 - 4ac=\)

\(=56^{2}-4\cdot5\cdot128=\)

\(=3136 - 2560=576 >0\) - 2 корня.

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),   \(\sqrt D = 24\).

\(x_{1} = \frac{56 + 24}{2\cdot5} =\frac{80}{10} = 8.\)

\(x_{2} = \frac{56 - 24}{2\cdot5} =\frac{32}{10} = 3,2.\)

Ответ: \(x=8,\; x=3,2.\)

б) \(\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{x+3}=\dfrac{1}{x+28}+\dfrac{1}{x}\)

ОДЗ: \(x  \ne 0; \)

\(x + 1 \ne 0, \Rightarrow x\neq -1;\)

\(x + 3 \ne0, \Rightarrow x\neq -3;\)

\(x + 28 \ne 0, \Rightarrow  x\neq -28.\)

\(\dfrac{1}{x+1} ^{\color{blue}{\backslash x}} -\dfrac{1}{x} ^{\color{blue}{\backslash x+1}} =\dfrac{1}{x+28} ^{\color{blue}{\backslash x+3}} - \dfrac{1}{x+3} ^{\color{blue}{\backslash x+28}} \)

\(\dfrac{x - (x+1)}{x(x+1)}=\dfrac{(x+3)-(x+28)}{(x+28)(x+3)}\)

\(\dfrac{\cancel x - \cancel x -1}{x(x+1)}=\dfrac{\cancel x+3-\cancel x-28}{(x+28)(x+3)}\)

\(-\dfrac{1}{x(x+1)}=-\dfrac{25}{(x+28)(x+3)}\)

\(\dfrac{1}{x(x+1)}=\dfrac{25}{(x+28)(x+3)}\)

\((x+28)(x+3) = 25x(x+1)\)

\(x^2 + 3x + 28x + 84 = 25x^2 + 25x\)

\(x^2 + 31x + 84 = 25x^2 + 25x\)

\(x^2 + 31x + 84 - 25x^2 - 25x = 0\)

\(-24x^2 + 6x + 84\)  \(/ :(-6)\)

\(4x^{2}-x-14=0 \)

\(a = 4\),  \(b = -1\),  \(c = -14\)

\( D = b^2 - 4ac=\)

\(=(-1)^{2}-4\cdot4\cdot(-14)=\)

\(=1+224=225 >0\) - 2 корня.

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),   \(\sqrt D = 15\).

\(x_{1} = \frac{1 + 15}{2\cdot4} =\frac{16}{8} = 2.\)

\(x_{2} = \frac{1 - 15}{2\cdot4} =\frac{-14}{8} = \frac{-7}{4}=-1\frac34.\)

Ответ: \(x=2,\; x=-1\dfrac{3}{4}.\)

Пояснения:

При решении уравнений с дробями сначала указываем область допустимых значений (значения, при которых знаменатели не равны нулю).

В каждом уравнении удобно сначала получить разности, для этого переносим по одному слагаемому из одной стороны уравнения в другую. Затем вычесть дроби на каждой стороне, приводя их к общему знаменателю. В результате каждая сторона превращается в одну дробь, у которой числитель не содержит переменных, то есть получается пропорция. Далее используем основное свойство пропорции, согласно которому произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов. Выполнив преобразования получаем квадратное уравнение, которое решаем через дискриминант. Найденные корни проверяются на принадлежность ОДЗ, если корни совпадают с ОДЗ, их в ответ не записываем.