Упражнение 291 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(2(x - 18)(x - 19) > 0\)   \(/ : 2\)

\((x - 18)(x - 19) > 0\)

\((x - 18)(x - 19) = 0\)

\(x - 18 = 0\)  или  \(x - 19 = 0\)

\(x = 18\)                 \( x = 19\).

Ответ: \(x \in (-\infty; 18) \cup (19; +\infty)\).

б) \(-4(x + 0{,}9)(x - 3{,}2) < 0\) \(/ :(-4)\)

\((x + 0{,}9)(x - 3{,}2) > 0\)

\((x + 0{,}9)(x - 3{,}2) = 0\)

\(x + 0,9 = 0\)   или   \(x - 3,2 = 0\)

\(x = -0,9\)                \(x = 3,2\)

Ответ: \(x \in (-\infty; -0,9) \cup (3,2; +\infty)\).

в) \((7x + 21)(x - 8{,}5) \le 0\)

\((7x + 21)(x - 8{,}5) = 0\)

\(7x + 21 = 0\)   или   \(x - 8,5 = 0\)

\(7x = -21\)                \(x = 8,5\)

\(x = -\frac{21}{7}\)

\(x=-3\)

Ответ: \(x \in [-3; 8{,}5]\).

г) \((8 - x)(x - 0{,}3) \ge 0\)

\((8 - x)(x - 0{,}3) \ge 0\)

\(8 - x = 0\)   или   \(x - 0,3 = 0\)

\(x = 8\)                 \(x = 0,3\)     

Ответ: \(x \in [0{,}3; 8]\).

Пояснения:

При решении неравенств используем метод интервалов.

Метод интервалов применяется к произведению вида \((x-a)(x-b)\dots\).

Находим нули каждого множителя — это точки, в которых знак выражения меняется.

Отмечаем точки на числовой прямой и определяем знак выражения на каждом интервале. Достаточно определить знак на одном интервале, а на остальных расставить знаки так, чтобы они чередовались. Чтобы определить знак на одном из интервалов, нужно взять какое-нибудь значение из рассматриваемого интервала и определить знак функции при этом значении.

Если знак требуется «>0» — берём интервалы со знаком "+", без корней; если «<0» — интервалы со знаком "–", без корней; если «≥0» — интервалы со знаком "+" и включаем корни; если «≤0» — интервалы со знаком "–" и включаем корни.

Также помним свойства неравенств:

если \(a < b\) и \(c\) - положительное число, то \(ac < bc\), то есть если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство. Если \(a < b\) и \(c\) - отрицательное число, то \(ac > bc\), то есть если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный, то получится верное неравенство.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(+\infty\) и \(-\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.

а) \(\dfrac{3x-2}{x-1}-\dfrac{2x+3}{x+3}=\dfrac{12x+4}{x^{2}+2x-3}\)

\(x^{2}+2x-3 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = 2\),  \(c = -3\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=2^2 - 4\cdot1\cdot(-3) = \)

\(=4 + 12 = 16 > 0\) - 2 корня.

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),   \(\sqrt D = 4\).

\(x_{1} = \frac{-2 + 4}{2\cdot1} =\frac{2}{2} = 1.\)

\(x_{2} = \frac{-2 - 4}{2\cdot1} =\frac{-6}{2} = -3.\)

\(x^{2}+2x-3 = (x-1)(x+3)\)

\(\dfrac{3x-2}{x-1}-\dfrac{2x+3}{x+3}=\dfrac{12x+4}{(x-1)(x+3)}\) \(/\times(x-1)(x+3)\)

ОДЗ: \(x-1 \ne 0\)  и  \(x+3 \ne 0\) 

         \(x\neq1\)              \(x\neq-3\)

\((3x-2)(x+3)-(2x+3)(x-1)=12x+4\)

\(3x^2 + 9x - 2x - 6 - (2x^2 - 2x + 3x - 3) = 12x + 4\)

\(3x^2 + 7x - 6 - 2x^2 + 2x - 3x + 3 - 12x - 4 = 0\)

\(x^2 - 6x - 7 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -6\),  \(c = -7\)

\(D = (-6)^2 - 4 \cdot1\cdot(-7) =\)

\(=36 + 28 = 64 > 0\)  - 2 корня.

\(\sqrt D = 8\)

\(x_{1} = \frac{6 + 8}{2\cdot1} =\frac{14}{2} = 7.\)

\(x_{2} = \frac{6 - 8}{2\cdot1} =\frac{-2}{2} = -1.\)

Ответ: \(x = -1;  7\).

б) \(\dfrac{5x-1}{x+7}-\dfrac{2x+2}{x-3}+\dfrac{63}{x^{2}+4x-21}=0\)

\(x^{2}+4x-21 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = 4\),  \(c = -21\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=4^2 - 4\cdot1\cdot(-21) = \)

\(=16 + 84 = 100 > 0\) - 2 корня.

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),   \(\sqrt D = 10\).

\(x_{1} = \frac{-4 + 10}{2\cdot1} =\frac{6}{2} = 3.\)

\(x_{2} = \frac{-4 - 10}{2\cdot1} =\frac{-14}{2} = -7.\)

\(x^{2}+4x-21 = (x - 3)(x + 7)\)

\(\dfrac{5x-1}{x+7}-\dfrac{2x+2}{x-3}+\dfrac{63}{(x - 3)(x + 7)}=0\)  \(/\times (x - 3)(x + 7)\)

ОДЗ: \(x - 3\ne 0\)  и  \(x + 7 \ne 0 \)

          \(x \ne 3\)             \(x \ne -7\)

\(5x - 1)(x - 3) - (2x + 2)(x + 7) + 63 = 0\)

\(5x^2 - 15x - x + 3 - (2x^2  + 14x + 2x + 14) + 63 = 0\)

\(5x^2 - 16x + 3 - 2x^2  - 14x - 2x - 14 + 63 = 0\)

\(3x^2 -32x + 52 = 0\)

\(a = 3\),  \(b = -32\),  \(c = 52\)

\(D = (-32)^2 - 4\cdot 3\cdot 52 = \)

\(= 1024 - 624 = 400 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt D = 20\).

\(x_{1} = \frac{32 + 20}{2\cdot3} =\frac{52}{6} = \frac{26}{3} =8\frac23.\)

\(x_{2} = \frac{32 - 20}{2\cdot3} =\frac{12}{6} = 2.\)

Ответ: \(x = 2;   8\frac23.\)

в) \(\dfrac{x}{x^{2}+4x+4}=\dfrac{4}{x^{2}-4}-\dfrac{16}{x^{3}+2x^{2}-4x-8}\)

\(x^{3}+2x^{2}-4x-8 = \)

\(=x^2(x + 2) - 4(x + 2)=\)

\(=(x + 2)(x^2 - 4) =\)

\(=(x+2)(x+2)(x - 2) =\)

\(= (x + 2)^2(x - 2)\).

\(\dfrac{x}{(x+2)^{2}}=\dfrac{4}{(x-2)(x+2)}-\dfrac{16}{ (x + 2)^2(x - 2)}\) \(/\times(x + 2)^2(x - 2)\)

ОДЗ: \(x + 2 \ne 0\)  и  \(x - 2 \ne 0\)

         \(x \ne - 2\)           \(x \ne 2\)

\(x(x-2) = 4(x + 2) - 16\)

\(x^2 - 2x = 4x + 8 - 16\)

\(x^2 - 2x = 4x -8\)

\(x^2 - 2x - 4x + 8 =0\)

\(x^2 - 6x + 8 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -6\),  \(c = 8\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-6)^2 - 4\cdot1\cdot8 = \)

\(=36 + 32 = 4 > 0\) - 2 корня.

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\),   \(\sqrt D = 2\).

\(x_{1} = \frac{6 + 2}{2\cdot1} =\frac{8}{2} = 4.\)

\(x_{2} = \frac{6 - 2}{2\cdot1} =\frac{4}{2} = 2\) - не является корнем.

Ответ: \(x = 4\).

Пояснения:

Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю.

Алгоритм решения уравнений:

1) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение (предварительно,если возможно, разложить все знаменатели на множители);

2) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

Чтобы привести дроби к общему знаменателю, в каждом пункте трехчлен, стоящий в знаменателе разложили на множители по формуле:

\(x^2 + bx + c = (x - x_1)(x - x_2)\),

где \(x_1\) и \(x_2\) - корни квадратного трехчлена.

На каждом шаге важно проверять найденные значения на принадлежность области допустимых значений, чтобы не получить решения, при которых хотя бы один знаменатель равен нулю.