Упражнение 208 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \((-\infty;\,-3]\) - убывает,

\([-3;\,+\infty)\) - возрастает.

\[ y = (x + 3)^{2}. \]

б) \((-\infty;\,6]\) - возрастает,

\([6;\,+\infty)\) - убывает.

\[ y = - (x - 6)^{2}. \]

Пояснения:

Для функции \(y = ax^{2} + bx + c\):

— если \(a > 0\), ветви параболы направлены вверх: убывает слева от вершины, возрастает справа;
— если \(a < 0\), ветви параболы направлены вниз: возрастает слева от вершины, убывает справа.

При составлении формулы квадратичной функции учитываем то, что график функции \(y = a(x - m)^2\) является парабола с вершиной \((m; 0)\).

\( y = f(x) \) — возрастающая функция и \( a \) — некоторое число.

Пусть уравнение \( f(x) = a \) имеет два различных корня \( x_1 \) и \( x_2 \), то есть

\( x_1 \ne x_2 \) и \( f(x_1) = f(x_2) = a. \)

Так как функция \( f(x) \) — возрастающая, то при \( x_1 < x_2 \) выполняется неравенство:

\[ f(x_1) < f(x_2). \]

Однако это противоречит условию \( f(x_1) = f(x_2) = a. \)

Следовательно, наше предположение неверно, и уравнение \( f(x) = a \) может иметь не более одного корня.

Пояснения:

Возрастающая функция обладает свойством:

если \( x_1 < x_2 \), то \( f(x_1) < f(x_2) \).

Это означает, что одно и то же значение функции не может повторяться при разных \(x\). Следовательно, горизонтальная прямая \(y = a\) может пересечь график возрастающей функции не более чем в одной точке — то есть уравнение \( f(x) = a \) имеет не более одного решения.