Упражнение 209 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(y = x^{2} + px + q\) - парабола, ветви которой направлены вверх, так как \(a = 1 >0\).

Нули функции:

\(x=3\) и \(x=4\).

\( y = (x-3)(x-4) \)

\(y = x^2 -4x -3x +12\)

\(y = x^2 -7x +12\)

\(p = -7,\quad q = 12. \)

Ответ: \(p = -7\),  \(q = 12\).

б) \(y = x^{2} + px + q\) - парабола, ветви которой направлены вверх, так как \(a = 1 >0\).

\((0;6)\), точка пересечения с осью \(y\), \(\Rightarrow \) \(q = 6\).

\((2;0)\) - точка пересечения с осью \(x\).

\(0 = 2^{2} + p\cdot2 + 6\)

\(0 = 4 + 2p + 6\)

\(0 = 10 + 2p\)

\(2p = -10\)

\(p = \frac{-10}{2}\)

\(p = -5\)

Ответ: \( p = -5,\)  \(q = 6. \)

в) \(y = x^{2} + px + q\) - парабола, ветви которой направлены вверх, так как \(a = 1 >0\).

\((x_0; y_0)\) - вершина параболы.

\(x_0 = 6\), \(y_0 = 24\),

\(x_0 = -\frac{p}{2a}\)

\(6 = -\frac{p}{2\cdot1}\)

\(6 = -\frac{p}{2}\)

\(p = -12\)

\( 24 = 6^{2} + (-12)\cdot 6 + q \)

\(24 = 36 - 72 + q \)

\(24 = -36 + q \)

\(q = 24 + 36\)

\(q = 60\)

Ответ: \( p = -12,\)  \( q = 60. \)

Пояснения:

1. Нули функции.

Если квадратичная функция имеет нули \(x=a\) и \(x=b\), то она представима как \( y = (x-a)(x-b) \).

Поэтому коэффициенты можно сразу получить через сумму и произведение корней.

2. Пересечения с осями.

Точка пересечения с осью \(Ox\) всегда означает нуль функции, а пересечение с осью \(Oy\) всегда даёт значение \(q\), т.к. \(y(0)=q\).

3. Наименьшее значение функции.

У параболы \(y = x^{2} + px + q\) ветви направлены вверх, так как \(a = 1 > 0\), значит, наименьшее значение функции будет в вершине параболы, которая имеет координаты \((x_0; y_0)\), причем \( x_0 = -\frac{p}{2}\). Зная координаты вершины, сначала находим коэффициент \(p\), затем подстановкой в уравнение квадратичной функции координат вершины параболы и коэффициента \(p\), находим коэффициент \(q\).

а) \(\sqrt{x} + x^2 = 18.\)

ОДЗ: \(x \ge 0\).

\(y=\sqrt{x}\) и \(y = x^2\) - возрастающие функции при \(x \ge 0\), значит,

\(y =\sqrt{x} + x^2\) - возрастающая функция при \(x \ge 0\), поэтому уравнение имеет не более одного корня.

Подбором находим корень: \(x = 4\).

\(\sqrt{4} + 4^2 = 18\)

\(2 + 16 = 18\) - верно.

Ответ: \(x = 4.\)

б) \(x^3 + 5x = 6\)

\(y=x^3\) и \(y = 5x\) - возрастающие функции, значит, \(y =x^3 + 5x\) - возрастающая функция, поэтому уравнение имеет не более одного корня.

Подбором находим корень: \(x = 1\).

\(1^3 + 5\cdot1 = 6\)

\(1 + 5 = 6\)

\(6 = 6\)

Ответ: \(x = 1.\)

Пояснения:

При решении уравнений учитываем то, что:

1. сумма возрастающих функций - возрастающая функция;
2. если \( y = f(x) \) — возрастающая функция и \( a \) — некоторое число, то уравнение \( f(x) = a \) имеет не более одного корня, который находим подбором.

В пункте а) учитываем то, что корень имеет смысл только тогда, когда подкоренное выражение неотрицательно.