Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№159 учебника 2023-2026 (стр. 60):
Найдите значение \(b\), при котором прямая \(y = 6x + b\) касается параболы \(y = x^{2} + 8\).
№159 учебника 2014-2022 (стр. 57):
Докажите, что верно равенство:
а) \(\sqrt{361}=19\);
б) \(\sqrt[3]{343}=7\);
в) \(\sqrt[6]{\dfrac{1}{64}}=\dfrac{1}{2}\);
г) \(\sqrt[5]{\dfrac{32}{243}}=\dfrac{2}{3}\);
д) \(\sqrt[10]{1}=1\);
е) \(\sqrt[7]{0}=0\);
ж) \(\sqrt{7-4\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}\);
з) \(\sqrt{9-4\sqrt{5}}=\sqrt{5}-2\).
№159 учебника 2023-2026 (стр. 60):
№159 учебника 2014-2022 (стр. 57):
Вспомните:
№159 учебника 2023-2026 (стр. 60):
\(y = 6x + b\), \(y = x^{2} + 8\)
\(6x + b = x^2 + 8 \)
\( x^2 - 6x + (8 - b) = 0\)
\( D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (8 - b) =\)
\(=36 - 32 + 4b = 4 + 4b. \)
Условие касания:
\( D = 0\)
\( 4 + 4b = 0 \)
\( 4b = -4 \)
\( b = -1. \)
Ответ: \(b = -1\).
Пояснения:
1. Прямая касается параболы, если они имеют одну общую точку, т.е. квадратное уравнение, которое мы получим, приравняв правые части функций, должно иметь один корень.
2. Это происходит тогда, когда дискриминант равен нулю: \[ D = 0. \]
3. Мы приравняли выражения, получили квадратное уравнение, нашли дискриминант и приравняли его к нулю.
№159 учебника 2014-2022 (стр. 57):
а) \(\sqrt{361}=19\), так как
\(19^2=361\) и \(19>0\).
б) \(\sqrt[3]{343}=7\), так как
\(7^3=343\) и \(7 > 0\).
в) \(\sqrt[6]{\dfrac{1}{64}}=\dfrac{1}{2}\), так как
\(\left(\dfrac{1}{2}\right)^6=\dfrac{1}{64}\) и \(\dfrac{1}{2}>0\).
г) \(\sqrt[5]{\dfrac{32}{243}}=\dfrac{2}{3}\), так как
\(\left(\dfrac{2}{3}\right)^5=\dfrac{32}{243}\) и \(\dfrac{2}{3}>0\).
д) \(\sqrt[10]{1}=1\), так как
\(1^{10}=1\) и \(1 > 0\).
е) \(\sqrt[7]{0}=0\), так как \(0^7=0\).
ж) \(\sqrt{7-4\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}\)
\((2-\sqrt{3})^2=4-4\sqrt{3}+3=\)
\(= 7-4\sqrt{3}\) и \(2-\sqrt{3}>0\).
з) \(\sqrt{9-4\sqrt{5}}=\sqrt{5}-2\)
\((\sqrt{5}-2)^2=5-4\sqrt{5}+4=\)
\(=9-4\sqrt{5}\) и \(\sqrt{5}-2>0\).
Пояснения:
В задаче используются определения арифметического квадратного корня и арифметического корня \(n\)-й степени:
арифметическим корнем \(n\)-й степени из неотрицательного числа \(a\) называется неотрицательное число \(b\), \(n\)-я степень которого равна \(a\), то есть \(\sqrt[n]{a } = b\), если \( b^n=a \) и \( b\ge 0\).
Также в пунктах ж) и з) используется формула квадрата разности:
\[ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \]
При этом учитываем то, что
\((\sqrt a)^2 = a\).
Во всех пунктах доказательство строится по одному принципу: нужно показать, что правая часть после возведения в соответствующую степень даёт число под знаком корня, а для чётного корня ещё является неотрицательной.
Вернуться к содержанию учебника