Упражнение 101 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник
Старая и новая редакции
Вернуться к содержанию учебника
Вопрос
Выберите год учебника
№101 учебника 2023-2026 (стр. 36):
Найдите нули функции \(y = f(x)\), если:
а) \(y = 7x^2 - 6x - 1;\)
б) \(y = \sqrt{7-14x};\)
в) \(y = \frac{2x+3}{9-4x^2};\)
г) \(y = \frac{5x - 1}{x^2 + 16}.\)
№101 учебника 2014-2022 (стр. 37):
Площадь круга \(S\) (см\(^2\)) вычисляется по формуле \( S = \pi r^{2}, \) где \(r\) (см) — радиус круга. Постройте график функции \(S = \pi r^{2} \) и найдите по графику:
а) площадь круга, если его радиус равен 1,3 см; 0,8 см; 2,1 см;
б) радиус круга, площадь которого равна 1,8 см\(^2\); 2,5 см\(^2\); 6,5 см\(^2\).
Подсказка
№101 учебника 2023-2026 (стр. 36):
Вспомните:
- Что называют нулями функции.
- Рациональные дроби.
- Арифметический квадратный корень.
- Полные квадратные уравнения.
- Неполные квадратные уравнения.
- Линейное уравнение с одной переменной.
- Степень с натуральным показателем.
- Вычитание рациональных чисел.
- Деление рациональных чисел.
- Деление и дроби.
- Сокращение дробей.
- Десятичная запись дробных чисел.
- Умножение рациональных чисел.
№101 учебника 2014-2022 (стр. 37):
Вспомните:
- График функции.
- Квадратичную функцию и ее график.
- Положение точек на координатной плоскости.
- Степень с натуральным показателем.
- Умножение десятичных чисел.
- Чему равно число \(\pi\).
Ответ
№101 учебника 2023-2026 (стр. 36):
а) \(y = 7x^2 - 6x - 1\)
Нули функции:
\(y = 0\)
\(7x^2 - 6x - 1 = 0\)
\(a = 7\), \(b = -6\), \(c = -1\)
\(D = b^2 - 4ac =\)
\(=(-6)^2 - 4\cdot7\cdot(-1)=\)
\(=36 + 28 = 64 > 0\) - уравнение имеет 2 корня.
\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\), \(\sqrt D = 8\).
\(x_1 = \frac{6 + 8}{2\cdot7} = \frac{14}{14} = 1\).
\(x_2 = \frac{6 - 8}{2\cdot7} = \frac{-2}{14} = -\frac{1}{7}\).
Ответ: \(x = 1\) и \(x = -\frac{1}{7}\).
б) \(y = \sqrt{7-14x}\)
Нули функции:
\(y = 0\)
\( \sqrt{7-14x}=0\)
\(7 - 14x = 0\)
\(-14x = -7\)
\(x = \frac{7}{14}\)
\(x = \frac12\)
\(x = 0,5\)
Ответ: \(x = 0,5\).
в) \(y = \frac{2x+3}{9-4x^2}\)
Нули функции:
\(\begin{cases} y = 0, \\ 9 - 4x^2 \ne 0 \end{cases}\)
\(\begin{cases} 2x + 3 = 0, \\ 9 - 4x^2 \ne 0 \end{cases}\)
\(\begin{cases} 2x + 3 = 0, \\ 9 - 4x^2 \ne 0 \end{cases}\)
\(\begin{cases} 2x = -3, \\ -4x^2 \ne -9 \end{cases}\)
\(\begin{cases} x = -\frac{3}{2}, \\ x^2 \ne \frac{9}{4} \end{cases}\)
\(\begin{cases} x = -\frac{3}{2}, \\ x \ne \pm\sqrt{\frac{9}{4}} \end{cases}\)
\(\begin{cases} x = -1,5, \\ x \ne \pm \frac{3}{2} \end{cases}\)
\(\begin{cases} x = -1,5, \\ x \ne \pm 1,5 \end{cases}\)
Ответ: нулей функции нет.
г) \(y = \frac{5x - 1}{x^2 + 16}\)
Нули функции:
\(\begin{cases} y = 0, \\ x^2 + 16 \ne 0 \end{cases}\)
\(\begin{cases} 5x - 1 = 0, \\ x^2 \ne -16 \end{cases}\)
\(\begin{cases} 5x = 1, \\ x^2 \ne -16 \end{cases}\)
\(\begin{cases} x = \frac15, \\ x^2 \ne -16 \end{cases}\)
\(\begin{cases} x = 0,2, \\ x^2 \ne -16 - верно\; при\; любом\; x \end{cases}\)
Ответ: \(x = 0,2\).
Пояснения:
Нули функции - значения аргумента, при которых функция обращается в нуль.
Значение арифметического квадратного корня равно нулю, когда подкоренное выражение равно нулю.
Значение рациональной дроби равно нулю, когда числитель равен нулю, при этом знаменатель отличен от нуля, то есть значения \(x\), при которых и числитель и знаменатель дроби одновременно равны нулю не являются нулями функции.
№101 учебника 2014-2022 (стр. 37):
\( S = \pi r^{2}, \pi=3,14. \)
| \(r\) | 0 | 1 | 1,5 | 2 | 2,5 |
| \(S\) | 0 | 3,14 | 7,1 | 12,6 | 19,6 |
а) При \( r = 1,3\) \( S =5,3\) см2.
При \( r = 0,8\) \(S =2 \) см2.
При \( r = 2,1\) \(S =3,8\) см2.
б) \( S = 1,8\) при \(r = 0,7\) см.
\( S = 2,5\) при \(r = 0,9\) см.
\( S = 6,5\) при \(r =1,4\) см.
Пояснения:
1. Формула площади круга:
\[ S = \pi r^{2}. \]
Это квадратичная зависимость: чем больше радиус, тем быстрее увеличивается площадь.
2. График функции.
График — часть параболы, расположенная в первой четверти, так как \(r > 0\) и \(S> 0\), точка с координатами \((0; 0)\) которой является выколотой. Функция возрастает: при увеличении радиуса площадь увеличивается.
Вернуться к содержанию учебника