Упражнение 98 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) 1) \(D(f) = [-6; -3) \cup (-3; 6);\)

\(E(f) = (-5; 3].\)

2. Нули функции: \(x \approx 3,1.\)

3. \(f(x) > 0\) при \(x \in (-3; 3,1);\)

\(f(x) < 0\) при \(x \in [-6; 3) \cup [3,1; 6).\)

4. Функция возрастает при

\(x \in [-6; -3) \cup (-3; 0].\)

Функция убывает при \(x \in [0; 6).\)

5. Функция не является ни четной, ни нечетной.

б) 1) \(D(f) = [-8; 4];\)

\(E(f) = [-5; 7].\)

2. Нули функции:

\(x =-7,\) \(x =-1,\) \(x =1,\) \(x =3.\)

3. \(f(x) > 0\) при

\(x \in [-8; -7) \cup (-1; 1) \cup (3; 4];\)

\(f(x) < 0\) при \(x \in (-7; -1) \cup (1; 3).\)

4. Функция возрастает при

\(x \in [-4; 0] \cup [2; 4].\)

Функция убывает при

\(x \in [-8; -4] \cup [0; 2].\)

5. Функция не является ни четной, ни нечетной.

Пояснения:

Основные свойства функции:

1) Область определения \(D(f)\) - все значения, которые принимает переменная \(x\), область значений функции \(E(f)\) - все значения, которые принимает переменная \(y\).

2) Нули функции - значения аргумента, при которых функция обращается в нуль (точки пересечения с осью \(x\), в которых функция определена).

3) Промежутки знакопостоянства - промежутки, на которых функция сохраняет знак (на промежутках, расположенных выше оси \(x\) функция принимает положительные значения, на промежутках, расположенных ниже оси \(x\) функция принимает отрицательные значения).

4) Промежутки монотонности функции - промежутки возрастания и убывания функции.

Функция называется возрастающей на некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Функция называется убывающей на некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

5) Четность и нечетность функции.

Функция называется четной, если выполняются следующие условия:

- область определения функции симметрична относительно оси ординат (оси \(y\));

- противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции.

Функция называется нечетной, если выполняются следующие условия:

- область определения функции симметрична относительно начала координат;

- противоположным значениям аргумента соответствуют противоположные значения функции.

Точки пересечения находятся из системы:

\( \begin{cases} y = -x^{2},\\[4pt] y = 2x - 3. \end{cases} \)

\[ -x^{2} = 2x - 3. \]

\( -x^{2} - 2x + 3 = 0 \)       \(\color{red}\times(-1)\)

\[ x^{2} + 2x - 3 = 0\]

\( D =b^2-4ac 2^{2} - 4\cdot1\cdot(-3) =\)

\(=4 + 12 = 16, \)   \(\sqrt{D}=4.\)

\[ x _{1,2}= \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. \]

\[ x_1 = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1. \]

\[ x_2 = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3. \]

\[y_1 = -x^{2} = -1^{2} = -1. \]

\[ y_2 = -x^{2} = -(-3)^{2} = -9. \]

Точки пересечения: \((1,\ -1)\) и \((-3,\ -9)\).

\(y = -x^{2}\)

\(y = 2x - 3\)

Ответ: точки пересечения — \((1,\ -1)\) и \((-3,\ -9)\).

Пояснения:

— Парабола \(y=-x^{2}\) направлена вниз.

— Прямая \(y=2x-3\) возрастает.

— Точки пересечения — это решения уравнения \(-x^{2} = 2x-3\).

Получаем квадратное уравнение и находим два корня, значит графики пересекаются в двух точках.

Графическая иллюстрация выполняется по точкам:

1) построить параболу \(y=-x^{2}\);

2) построить прямую \(y=2x-3\);

3) отметить точки пересечения: \((1,-1)\) и \((-3,-9)\).