Упражнение 105 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(f(x) = \frac5x\)

\(f(-x) = \frac{5}{-x} = -\frac5x = - f(x) \)

\(f(-x) = -f(x)\), значит, функция \(f(x)\) нечетная.

б) \(f(x) = 5 - 3x^2\)

\(f(-x) = 5 - 3(-x)^2 =\)

\(=5 - 3x^2= f(x).\)

\(f(-x) = f(x)\), значит, функция \(f(x)\) четная.

в) \(f(x) = x^3 - x\)

\(f(-x) = (-x)^3 - (-x) =\)

\(=-x^3 + x =-(x^3 - x) = -f(x).\)

\(f(-x) = -f(x)\), значит, функция \(f(x)\) нечетная.

г) \(f(x) = 1 - |x|\)

\(f(-x) = 1 - |-x| = \)

\(=1 - |x| = f(x)\)

\(f(-x) = f(x)\), значит, функция \(f(x)\) четная.

Пояснения:

Функция называется четной, если выполняются следующие условия:

- область определения функции симметрична относительно оси ординат (оси \(y)\);

- противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции.

Следовательно, функция \(y = f(x)\) является четной, если для любых значений \(x\) из области определения функции справедливо равенство \(f(-x) = f(x) \).

Функция называется нечетной, если выполняются следующие условия:

- область определения функции симметрична относительно начала координат;

- противоположным значениям аргумента соответствуют противоположные значения функции.

Следовательно, функция \(y = f(x)\) является нечетной, если для любых значений \(x\) из области определения функции справедливо равенство \(f(-x) = -f(x) \).

Свойство нечетной степени:

\((-x)^3 = -x^3\).

Свойство четной степени:

\((-x)^2 = x^2\).

Противоположные выражения:

\(-a + b = -(a - b)\).

Модуль числа принимает только неотрицательные значения, поэтому \(|-x| = |x|\).

Свойство дроби:

\(\frac{a}{-b} = -\frac{a}{b}\).

\((x+3)^2 - (x-3)^2 =\)

\(=(x-2)^2 + (x+2)^2 \)

\(\small(x^2 + 6x + 9) - (x^2 - 6x + 9) =\)

\(\small=(x^2 - 4x + 4) + (x^2 + 4x + 4)\)

\(\small x^2 + 6x + 9-x^2 + 6x - 9 =\)

\(\small=x^2 - 4x + 4 + x^2 + 4x + 4\)

\(12x = 2x^2 + 8 \)

\( 2x^2 - 12x + 8 = 0 \)    \(\color{red}:2\)

\( x^2 - 6x + 4 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -6\),  \(c = 4\)

\( D =b^2-4ac=\)

\(=(-6)^2 - 4\cdot 1 \cdot 4 =\)

\(=36 - 16 = 20,\)

\(\sqrt{D}=\sqrt{20}=2\sqrt5\)

\(x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\( x_1= \frac{6 +2\sqrt{5}}{2} = 3 + \sqrt{5}. \)

\( x_2= \frac{6 -2\sqrt{5}}{2} = 3 -\sqrt{5}. \)

Ответ: \[ x_1 = 3 + \sqrt{5},\quad x_2 = 3 - \sqrt{5}. \]

\( \sqrt{4}<\sqrt{5}< \sqrt{9}\)

\( 2<\sqrt{5}< 3,\Rightarrow 5<3 + \sqrt{5}<6\)

\(0<3 - \sqrt{5}<1\)

Пояснения:

1. Формулы:

Квадрат суммы двух выражений

\( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)

Квадрат разности двух выражений

\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)

2. Уравнение сводится к квадратному, так как все выражения имеют вид \((x+c)^2\), то после раскрытия скобок получается многочлен второй степени.

3. Поиск корней.

После приведения подобные слагаемых получаем квадратное уравнение \[ x^2 - 6x + 4 = 0, \] которое решается через дискриминант.

4. Координатная прямая.

Корни расположены симметрично относительно середины \(x=3\):

\[ 3 - \sqrt{5} \approx 0.764,\qquad 3 + \sqrt{5} \approx 5.236. \]