Упражнение 99 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(y = x^2 + 3x - 25\)

\(D(f) = (-\infty; +\infty)\).

б) \(y = \sqrt{5 - 3x}\)

\(5 - 3x \ge 0\)

\(-3x \ge -5\)

\(x \le \frac53\)

\(x \le 1\frac23\)

\(D(f) = (-\infty;1\frac23]\).

в) \(y = \frac{x^2 - 1}{x+1}\)

\(x + 1 \ne 0\)

\(x \ne -1\)

\(D(f) = (-\infty;-1) \cup (-1; +\infty) \).

г) \(y = \frac{x+1}{x^2 +1}\)

\(x^2 + 1 > 0\) при любом \(x\).

\(D(f) = (-\infty; +\infty)\).

Пояснения:

Все значения, которые принимает независимая переменная (переменная \(x\)), образуют область определения функции. То есть из области определения исключают значения переменной \(x\), при которых выражение, соответствующее рассматриваемой функции, не имеет смысла. Учитываем то. что у дроби знаменатель всегда должен быть отличен от нуля, а подкоренное выражение может принимать только неотрицательные значения. Область определения функции принято обозначать символом \(D(f)\).

\( \begin{cases} y=0,01x^2 \\ y=10x \end{cases}\) 

\[ 0{,}01x^{2} = 10x\]

\[ 0{,}01x^{2} - 10x = 0. \]

\[ x(0{,}01x - 10) = 0 \]

\( x = 0 \)   или   \( 0{,}01x - 10 = 0 \)

                       \(0{,}01x = 10\)

                       \(x = 10:0{,}01\)

                       \( x = 1000\)

При \(x = 1000\):

\( y = 10x = 10\cdot1000 = 10000\)

Итак, имеем две общие точки:

1) \(O(0;\,0)\) — очевидная;
2) \(A(1000;\, 10000)\).

Ответ: графики имеют ещё одну общую точку: \((1000;\, 10000)\).

Пояснения:

— График \(y = 0,01x^{2}\) — парабола, ветви направлены вверх, «очень широкая», так как коэффициент 0.01 маленький.

— График \(y = 10x\) — прямая, проходящая через начало координат, достаточно крутая.

Когда мы решаем уравнение \[ 0{,}01x^{2} = 10x, \] мы ищем все \(x\), при которых значения функций равны, а значит точки с одинаковыми координатами лежат одновременно на двух графиках.

Первое решение — \(x = 0\) — даёт точку пересечения в начале координат. Второе решение — \(x = 1000\) — подтверждает, что парабола и прямая пересекаются ещё один раз в дальней части координатной плоскости.