Упражнение 103 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(f(x) = 6 - 5x^2 + x^4\)

\(f(-x) = 6 - 5(-x)^2 + (-x)^4 =\)

\(6 - 5x^2 + x^4 = f(x).\)

\(f(-x) = f(x) \), значит, функция \( f(x)\) четная.

Что и требовалось доказать.

б) \(f(x) = 5|x|\)

\(f(-x) = 5|-x| = 5|x|  = f(x)\)

\(f(-x) = f(x) \), значит, функция \( f(x)\) четная.

Что и требовалось доказать.

Пояснения:

Функция называется четной, если выполняются следующие условия:

- область определения функции симметрична относительно оси ординат (оси \(y\));

- противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции.

Следовательно, функция \(y = f(x)\) является четной, если для любых значений \(x\) из области определения функции справедливо равенство \(f(-x) = f(x) \).

Число в четной степени принимает только неотрицательные значения, поэтому \((-x)^2 = x^2\) и \((-x)^4 = x^4\).

Модуль числа принимает только неотрицательные значения, поэтому \(|-x| = |x|\).

а) \(3x^{2} - 8x + 2=0\)

\(a=3,\ b=-8,\ c=2. \)

\( D =b^{2} - 4ac =\)

\(=(-8)^2 - 4\cdot 3 \cdot 2 =\)

\(=64 - 24 = 40>0\) - два корня.

Ответ: 2 корня.

б) \( -\tfrac12 y^{2} + 6y - 18=0\)

\(a=-\tfrac12,\ b=6,\ c=-18. \)

\( D =b^{2} - 4ac =\)

\(= 6^2 - 4\cdot\left(-\tfrac12\right)\cdot(-18) =\)

\(= 36 - 4\cdot\left(\tfrac12\right)\cdot 18 = 36 - 36 = 0 \) - один корень.

Ответ: 1 корень.

в) \( m^{2} - 3m + 3=0\)

\(a=1,\ b=-3,\ c=3. \)

\( D =b^{2} - 4ac =\)

\( = (-3)^2 - 4\cdot 1\cdot 3 = 9 - 12 = -3\) - корней нет.

Ответ: 0 корней.

Пояснения:

Количество корней квадратного трёхчлена определяется знаком дискриминанта:

\[ \begin{cases} D>0 & \Rightarrow \text{два корня},\\[4pt] D=0 & \Rightarrow \text{один корень},\\[4pt] D<0 & \Rightarrow \text{нет действительных корней}. \end{cases} \]

В каждом пункте задача сводится к подстановке коэффициентов в формулу дискриминанта и определению его знака.