Упражнение 1135 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\( \begin{cases} \dfrac{x+1}{10}-\dfrac{x}{6}\le\dfrac{x}{10}+\dfrac{1-x}{30},  /\times 30\\[8pt] \dfrac{x}{3}-\dfrac{x+5}{12}<\dfrac{x}{4}-\dfrac{x-5}{24}  /\times 24 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 3(x+1)-5x\le3x+(1-x), \\[6pt] 8x-2(x+5)<6x-(x-5) \end{cases} \)

\( \begin{cases} 3x+3-5x\le3x+1-x, \\[6pt] 8x-2x-10<6x-x+5 \end{cases} \)

\( \begin{cases} -2x+3\le2x+1, \\[6pt] 6x-10<5x+5 \end{cases} \)

\( \begin{cases} -2x - 2x \le 1 - 3, \\[6pt] 6x-5x<5+10 \end{cases} \)

\( \begin{cases} -4x\le-2,   / : (-4) \\[6pt] x< 15 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x\ge\frac24, \\[6pt] x< 15 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x\ge0,5, \\[6pt] x< 15 \end{cases} \)

Ответ: \(x\in [0,5; 15)\).

Пояснения:

Сначала в каждом неравенстве избавляемся от знаменателей, домножив неравенство на общий знаменатель дробей, входящих в неравенство, учитывая то, что если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство. Затем, используя распределительное свойство умножения, раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые.

Затем при решении неравенств используем то, что:

- если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

Пусть скорость первого мотоциклиста равна \(x\) км/ч, а скорость второго мотоциклиста равна \(y\) км/ч, тогда скорость их сближения \(x + y\) км/ч. Расстояние между пунктами равно \(S\) км. Время движения до встречи равно \(t\) ч.

Составим систему уравнений:

\( \begin{cases} S = (x+y)t, \\[4pt] x = \frac{S}{t + 2,5}, \\[4pt] y = \frac{S}{t+ 1,6} \end{cases} \)

\( \begin{cases} S = \left(\frac{S}{t + 2,5}+\frac{S}{t+ 1,6}\right)t, \\[4pt] x = \frac{S}{t + 2,5}, \\[4pt] y = \frac{S}{t+ 1,6} \end{cases} \)

\(S = \left(\frac{S}{t + 2,5}+\frac{S}{t+ 1,6}\right)t\)

\(S = \frac{St}{t + 2,5}+\frac{St}{t+ 1,6}\)     \(/ : S\)

\(1 = \frac{t}{t + 2,5}+\frac{t}{t+ 1,6}\)   \(/\times (t + 2,5)(t + 1,6)\)

\((t + 2,5)(t + 1,6) = t(t + 1,6) + t(t + 2,5)\)

\(t^2 + 1,6t+ 2,5t + 4 = t^2 + 1,6t + t^2 + 2,5t\)

\(t^2 + 4,1t + 4 = 2t^2 + 4,1t\)

\( 2t^2 + \cancel{4,1t} - t^2 - \cancel{4,1t} - 4= 0\)

\(t^2 -4 = 0\)

\(t^2 = 4\)

\(t = \pm\sqrt4\)

\(t_1 = -2\) - не удовлетворяет условию.

\(t_2 = 2\)

1) \(2\) ч - был в пути каждый мотоциклист до встречи.

2) \(2 + 2,5 = 4,5\) (ч) - был в пути первый мотоциклист.

3) \(2 + 1,6 = 3,6\) (ч) - был в пути второй мотоциклист.

Ответ: \(4,5\) ч и \(3,6\) ч.

Пояснения:

Решаем задачу с помощью системы уравнений.

Вводим обозначения: скорость первого мотоциклиста равна \(x\) км/ч, а скорость второго мотоциклиста - \(y\) км/ч, тогда скорость их сближения \(x + y\) км/ч. Расстояние между пунктами равно \(S\) км. Время движения до встречи равно \(t\) ч.

Чтобы найти расстояние, нужно скорость умножить на время. Тогда первое уравнение системы:

\(S = (x+y)t\).

Чтобы найти скорость, нужно расстояние разделить на время. Тогда второе уравнение системы:

\(x = \frac{S}{t + 2,5}\); третье уравнение системы: \(y = \frac{S}{t+ 1,6}\).

Получаем систему из трех уравнений:

\( \begin{cases} S = (x+y)t, \\[4pt] x = \frac{S}{t + 2,5}, \\[4pt] y = \frac{S}{t+ 1,6} \end{cases} \).

Решаем систему способом подстановки, подставляя значения \(x\) и \(y\) из второго и третьего уравнений системы в первое, получая тем самым уравнение:

\(S = \left(\frac{S}{t + 2,5}+\frac{S}{t+ 1,6}\right)t\).

Разделив обе части полученного уравнения на \(S\), получим  дробное рациональное уравнение с одной переменной:

\(1 = \frac{t}{t + 2,5}+\frac{t}{t+ 1,6}\).

Решив это уравнение, получаем:

\(t_1 = -2\)   и   \(t_2 = 2\).

Но отрицательный корень не удовлетворяет условию, так как время не может быть отрицательным числом. Значит, до встречи каждый мотоциклист был в пути \(2\) ч.

Первый мотоциклист прибыл в B через 2,5 ч после встречи, значит, он был в пути:

\(2 + 2,5 = 4,5\) (ч).

Второй мотоциклист прибыл в А через 1,6 ч после встречи, значит, он был в пути:

\(2 + 1,6 = 3,6\) (ч).