Упражнение 1131 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( y = \dfrac{3}{x} \) — гипербола.

Свойства функции:

1. \(D(y) =(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)\).

2. \(E(y) =(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)\).

3. Функция нулей не имеет.

4. \(k = 3>0\), поэтому

\(y < 0\) при \(x \in (-\infty; 0)\),

\(y > 0\) при \(x \in (0; +\infty)\).

5. Функция убывает на каждом из промежутков \((-\infty; 0)\) и \((0; +\infty)\), так как \(k = 3>0\).

б) \( y = -\dfrac{4}{x} \) — гипербола.

Свойства функции:

1. \(D(y) =(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)\).

2. \(E(y) =(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)\).

3. Функция нулей не имеет.

4. \(k = -4<0\), поэтому

\(y < 0\) при \(x \in (0; +\infty)\),

\(y > 0\) при \(x \in (-\infty; 0)\).

5. Функция возрастает на каждом из промежутков \((-\infty; 0)\) и \((0; +\infty)\), так как \(k = -4<0\).

Пусть \(x\) м/с - скорость первого мальчика, а \(y\) м/с - скорость второго мальчика. Тогда первый мальчик первые 10 м пробежал за \(\frac{10}{x}\) с, а второй - за \(\frac{10}{y}\) с. Расстояние, которое пробежал первый мальчик до встречи равно \(10x\) м, а второй - \(9y\) м. Длина дорожки 50 м и мальчики стартовали с интервалом 1 с.

Составим систему уравнений:

\( \begin{cases} \frac{10}{x} - \frac{10}{y} = 1,  /\times xy \\ 10x + 9y = 100 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 10y - 10x = xy, \\ 10x + 9y = 100 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 10y - 10x = xy, \\ 10x = 100 - 9y   / : 10 \end{cases} \)

\( \begin{cases} 10y - 10x = xy, \\ x = 10 - 0,9y \end{cases} \)

\( \begin{cases} 10y - 10(10 - 0,9y) = (10-0,9y)y, \\ x = 10 - 0,9y \end{cases} \)

\(10y - 10(10 - 0,9y) = (10-0,9y)y\)

\(10y - 100 + 9y = 10y - 0,9y^2\)

\(10y - 100 + 9y - 10y + 0,9y^2 = 0\)

\(0,9y^2 + 9y - 100 = 0\)  \(\times 10\)

\(9y^2 + 90y - 1000 = 0\)

\(a = 9\),  \(b = 90\),  \(c = -1000\)

\(D = b^2 - 4ac = \)

\(=90^2 - 4\cdot9 \cdot(-1000) =\)

\(=8100 + 36000 = 44100 > 0 \) - уравнение имеет 2 корня.

\(\sqrt D = 210\)

\(y_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\(y_1 = \frac{-90 + 210}{2\cdot 9} = \frac{120}{18} = \frac{20}{3} =\)

\(=6\frac23, \)

\(y_2 = \frac{-90 - 210}{2\cdot 9} = \frac{-300}{18} =\)

\(=-\frac{50}{3} = -16\frac23 \) - не удовлетворяет условию.

1) \(6\frac23\) (м/с) - скорость второго мальчика.

2) \(x = 10 - 0,9\cdot6\frac23 =\)

\(=10 - ^{\color{blue}{0,3}} \cancel{0,9}\cdot\frac{20}{\cancel{3}_ {\color{blue}{1}} } =\)

\(=10 - 6 = 4\) (км/ч) - скорость первого мальчика.

3) \(10\cdot4 = 40\) (м) - пробежал первый мальчик.

4) \(50 - 40 = 10\) (м)

Ответ: 10 м.

Пояснения:

Решаем задачу с помощью системы уравнений с двумя переменными, обозначив скорость первого мальчика \(x\) м/с, а скорость второго мальчика - \(y\) м/с.

Чтобы найти время, нужно расстояние разделить на скорость, значит, первый мальчик первые 10 м пробежал за \(\frac{10}{x}\) с, а второй - за \(\frac{10}{y}\) с. При этом мальчики стартовали с интервалом 1 с, тогда первое уравнение системы:

\(\frac{10}{x} - \frac{10}{y} = 1\).

Чтобы найти расстояние, нужно время умножить на скорость, тогда расстояние, которое пробежал первый мальчик до встречи равно \(10x\) м, а второй - \(9y\) м. Длина дорожки 50 м, значит, до встречи вместе мальчики пробежали 100 м - удвоенную длину дорожки. Следовательно, второе уравнение системы:

\(10x + 9y = 100\).

Составили систему:

\( \begin{cases} \frac{10}{x} - \frac{10}{y} = 1,  /\times xy \\ 10x + 9y = 100 \end{cases} .\)

Решаем систему способом подстановки. Из второго уравнения выражаем переменную \(x\) и подставляем полученное выражение в первое уравнение вместо переменной \(x\). Решаем уравнение относительно \(y\) и находим два значения: \(y_1 =6\frac23 \) и \(y_2 = -16\frac23 \). Но отрицательное число не подходит, так как скорость не может быть отрицательным числом. Далее находим значение \(x\), соответствующее положительному значению \(y\), получаем: \(x = 4\). Тогда первый мальчик от старта до встречи пробежал \(10\cdot4 = 40\) (м). Длина дорожки 50 м, значит, расстояние от места встречи до конца дорожки:

\(50 - 40 = 10\) (м).