Упражнение 909 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\( 1 - \frac{1}{2 - x} = \frac{6 - x}{3(x^2 - 4)} - \frac{1}{x - 2}\)

\( 1 + \frac{1}{x - 2} = \frac{6 - x}{3(x - 2)(x + 2)} - \frac{1}{x - 2}\) \(/\times3(x-2)(x + 2)\)

ОДЗ: \(x - 2 \neq 0\)  и  \(x + 2 \neq 0\)

         \(x \neq 2\)             \( x \neq -2\)

\(3(x - 2)(x + 2) +3(x+2) = 6-x-3(x+2)\)

\(3(x^2 - 4) + 3x + 6 = 6 - x -3x - 6\)

\(3x^2 -12 + 3x + 6 = - 4x\)

\(3x^2 -12 + 3x + 6 + 4x = 0\)

\( 3x^2 + 7x - 6 = 0\)

\(a = 3\),  \(b = 7\),  \(c = -6\)

\(D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) =\)

\( = 49 + 72 =121\),   \(\sqrt D = 11\).

\(x_1 = \frac{-7+ 11}{2\cdot3} =\frac46=\frac23\).

\(x_2 = \frac{-7- 11}{2\cdot3} =\frac{-18}{6}=-3\).

Ответ: \(\frac23;  -3\).

Пояснения:

Алгоритм решения уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

Решение целых уравнений:

Полное квадратное уравнение

\(ax^2 + bx + c=0\) решается через дискриминант \(D = b^2-4ac\). Если \(D>0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\);

\(x_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\).

Приемы, использованные при преобразованиях:

- разность квадратов:

\(a^2 - b^2 = (a-b)(a + b)\).

- противоположные выражения:

\(-(a - b) = b - a\).

- свойство дроби:

\(\frac{a}{-b} = -\frac ab\).

- распределительное свойство умножения:

\(ka \pm kb = k(a \pm b)\).

- подобные слагаемые:

\(ax \pm bx = (a \pm b)x\).

\(a>0,\;b>0\)

Докажем, что

\(\left(\frac{a+b}{2}\right)^3 \le \frac{a^3+b^3}{2} \)

\(\frac{(a+b)^3}{8} \le \frac{a^3+b^3}{2} \)  \(/\times 8\)

\( (a+b)^3 \le 4(a^3+b^3) \)

\( a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \le 4a^3+4b^3 \)

\( a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 - 4a^3 - 4b^3 \le 0 \)

\( 3a^2b+3ab^2 - 3a^3 - 3b^3 \le 0 \) \(/ : 3\)

\( a^2b+ab^2 - a^3 - b^3 \le 0 \)

\( (a^2b- a^3) + (ab^2 - b^3) \le 0 \)

\(a^2(b - a) -b^2(b - a) \le 0\)

\((b - a) (a^2-b^2) \le 0\)

\(-(a-b)(a-b)(a+b) \le 0\)

\(-(a-b)^2(a+b) \le 0\) - верно при любых \(a>0\) и \(b>0\).

Что и требовалось доказать.

Пояснения:

При выполнении доказательства использовали следующие приемы:

- куб суммы двух выражений:

\((a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\);

- распределительное свойство умножения:

\(k(a + b) = ka + kb\);

- разность квадратов двух выражений:

\(a^2 - b^2= (a-b)(a + b)\);

- свойство степени:

\((\frac{a}{b} )^n = \frac{a^n}{b^n}\);

- если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство.