Упражнение 905 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(A\) - множество чисел, кратных 3,

\(B\) - множество чисел, кратных 4.

\(A \cap B\) - множество чисел, кратных 12.

Пояснения:

Пересечение множеств (\(\cap\)) — элементы, которые встречаются и в \(A\), и в \(B\).

а) \(a^{2}+b^{2}+4 \ge 2(a+b+1)\)

\( a^{2}+b^{2}+4 - 2(a+b+1) = \)

\( =a^{2}+b^{2}+4 - 2a-2b-2 = \)

\( =a^{2}+b^{2} - 2a-2b+2 = \)

\(=(a^{2}-2a + 1) + (b^{2}-2b + 1) =\)

\(=(a-1)^{2} + (b-1)^{2} \ge 0\) при любых \(a\) и \(b\).

Что и требовалось доказать.

б) \(4a^{2}+b^{2} > 4(a+b-2)\)

\( 4a^{2}+b^{2}-4(a+b-2) =\)

\(=4a^2 + b^2 -4a -4b +8 =\)

\(=4a^{2}-4a + b^{2}-4b + 8 =\)

\(=(4a^{2}-4a + 1) + (b^{2}-4b + 4) + 3 =\)

\(= (2a - 1)^2 + (b - 2)^2 + 3 > 0\) при любых \(a\) и \(b\).

Что и требовалось доказать.

Пояснения:

При доказательстве составляем разность левой и правой частей неравенства и показываем, что эта разность сохраняет знак при любых указанных значениях переменных.

Составив разность, раскрываем скобки, используя распределительное свойство умножения, и выделяем в этой разности квадраты двучленов, которые при любых значениях переменных принимают неотрицательные значения.