Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№745 учебника 2023-2025 (стр. 175):
Докажите, что при любом значении переменной значение выражения положительно:
а) \(a^2+4a+11\);
б) \(\dfrac{x^2-2x+7}{19}\);
в) \(m^2-4m+51\);
г) \(\dfrac{p^2-6p+18}{p^2+1}\);
д) \(2b^2-8b+20\);
е) \(\dfrac{2c^2+3}{c^2+12c+40}\).
№745 учебника 2013-2022 (стр. 165):
Решите уравнение:
а) \(\dfrac{5}{x} = 2 - \dfrac{3}{x-2}\);
б) \(\dfrac{3}{2x-1} = 5x - 9\).
№745 учебника 2023-2025 (стр. 175):
Вспомните:
№745 учебника 2013-2022 (стр. 165):
Вспомните:
№745 учебника 2023-2025 (стр. 175):
а) \( a^2+4a+11=\)
\(=(a^2 + 4a + 4) + 7=\)
\(=(a+2)^2+7 > 0\).
б) \( \frac{x^2-2x+7}{19}=\)
\( \frac{(x^2-2x+1)+6}{19}=\)
\(=\frac{(x-1)^2+6}{19} >0 \).
в) \( m^2-4m+51=\)
\( =(m^2-4m+4)+47=\)
\(=(m-2)^2+47 > 0\).
г) \( \frac{p^2-6p+18}{p^2+1}=\)
\(= \frac{(p^2-6p+9)+9}{p^2+1}=\)
\(=\frac{(p-3)^2+9}{p^2+1} > 0\).
д) \( 2b^2-8b+20=\)
\(=2(b^2-4b+10)=\)
\(=2((b^2-4b+4)+6)=\)
\(=2((b-2)^2+6)= \)
\(=2(b-2)^2+12 > 0\).
е) \( \frac{2c^2+3}{c^2+12c+40}= \)
\( =\frac{2c^2+3}{(c^2+12c+36)+4}= \)
\( =\frac{2c^2+3}{(c+6)^2+4}>0 \).
Пояснения:
Во всех случаях выражения приводятся к виду
«квадрат числа + положительное число»
или дробь, где числитель и знаменатель строго положительны. Это доказывает, что при любом значении переменной значение выражения положительно.
Использованные формулы и приемы:
- Квадрат суммы двух выражений:
\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).
- Квадрат разности двух выражений:
\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).
- Вынесение общего множителя за скобки:
\(ka + kb = k(a+b)\).
№745 учебника 2013-2022 (стр. 165):
а) \( \frac{5}{x} = 2 - \frac{3}{x-2}\) \(/\times x(x-2)\)
ОДЗ: \(x\ne0\) и \(x-2 \neq0\)
\(x\ne2\).
\(5(x-2)=2x(x-2) - 3x\)
\(5x -10 = 2x^2 - 4x - 3x \)
\(5x -10 = 2x^2 -7x \)
\(2x^2 - 7x - 5x +10 = 0\)
\(2x^2 -12x +10 = 0\) \( /: 2\)
\( x^2 - 6x + 5 = 0\)
\(a=1\), \(b = -6\), \(c = 5\)
\(D = b^2 - 4ac = (-6)^2-4\cdot1\cdot5 =\)
\(=36 -20 = 16\), \(\sqrt D = 4\)
\(x_1 = \frac{-(-6)+ 4}{2\cdot1} = \frac{10}{2}=5\).
\(x_2 = \frac{-(-6)- 4}{2\cdot1} = \frac{2}{2}=1\).
Ответ: \(1; 5\).
б) \( \frac{3}{2x-1} = 5x - 9\) \(/\times (2x-1)\)
ОДЗ: \(2x - 1 \neq0\)
\(2x \neq 1\)
\(x \neq \frac{1}{2}\)
\( 3 = (5x-9)(2x-1)\)
\(3 = 10x^2 - 5x - 18x + 9\)
\( 3 = 10x^2 - 23x + 9\)
\( 10x^2 - 23x + 9 - 3 = 0\)
\( 10x^2 - 23x + 6 = 0\)
\(D =b^2-4ac=\)
\(=(-23)^2 - 4 \cdot 10 \cdot 6 =\)
\(=529 - 240 = 289\), \( \sqrt{D} = 17\).
\( x_1 = \frac{-(-23) + 17}{2\cdot10}=\frac{40}{20} = 2\).
\( x_2 = \frac{-(-23) - 17}{2\cdot10}= \frac{6}{20} =\)
\(=\frac{3}{10} = 0,3\).
Ответ: \(\frac{3}{10}; 2\).
Пояснения:
Алгоритм решения дробных рациональных уравнений:
1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;
2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;
4) решить получившееся целое уравнение;
5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.
Решение целых уравнений:
1) Полное квадратное уравнение \(ax^2 + bx + c=0\), которое решается через дискриминант \(D = b^2-4ac\).
– если \(D>0\), то уравнение имеет два корня:
\(x_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\);
\(x_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\).
2) Линейное уравнение вида \(ax = b\), которое при \(a\neq0\) имеет единственный корень \(x = \frac{a}{b}\).
Раскрытие скобок:
\(a(b + c) = ab + ac\);
\((a + b)(c -d) = ac - ad + bc -bd\).
Вернуться к содержанию учебника