Упражнение 715 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\( \begin{cases} y=x^2+1, \\ y=kx \end{cases} \)

\( kx=x^2+1 \)

\( x^2-kx+1=0 \)

\(a = 1\),  \(b = -k\),  \(c = 1\)

\( D=b^2-4ac=(-k)^2-4\cdot1\cdot1=\)

\(=k^2-4 \)

Уравнение имеет один корень, если

\( k^2-4=0 \)

\(k^2 = 4\)

\( k=\pm2 \)

Ответ: при \(k=2\) или \(k=-2\) прямая имеет одну общую точку с параболой.

Пояснения:

Чтобы найти координаты точек пересечения графиков функций без их построения, нужно решить систему из двух уравнений, соответствующих этим функциям.

При решении системы использовали метод подстановки:

1) выражают из уравнения первой степени одну переменную через другую;

2) подставляют полученное выражение в уравнение второй степени, в результате чего приходят к уравнению с одной переменной;

3) решают получившиеся уравнение с одной переменной;

4) находят соответствующие значения второй переменной.

После подстановки и преобразований получили полное квадратное уравнение вида

\(ax^2 + bx + c = 0\) с дискриминантом \(D = b^2 - 4ac\).

Чтобы была одна точка пересечения графиков, дискриминант полученного уравнения должен быть равен нулю.

Здесь \(D=k^2-4=0\), поэтому значения \(k=2\) или \(k=-2\).

Получается парабола \(y=x^2+1\) и прямая \(y=kx\) будут иметь одну общую точку, если \(k=2\) или \(k=-2\).

\(25\) % = \(0,25\)

\(160 - 0,25\cdot 160 = 160 - 40 =\)

\(=120\) (к.) - должна сшить вторая мастерская.

Составим уравнение:

\(\frac{160}{x+10} + 2 = \frac{120}{x} - 2\)

\(\frac{160}{x+10} + 2 + 2= \frac{120}{x} \)

\(\frac{160}{x+10} + 4 = \frac{120}{x} \)  \(/\times x(x+10)\)

ОДЗ: \(x\neq0\)   и   \(x + 10\neq 0\)

                            \(x\neq-10\)

\(160x + 4x(x+10) = 120(x+10) \)

\(160x+4x^2 + 40x = 120x + 1200 \)

\(160x+4x^2 + 40x - 120x - 1200 = 0\)

\(4x^2 +80x -1200 = 0\)   \(/ : 4\)

\(x^2 + 20x - 300 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = 20\),  \(c = 300\)

\(D =b^2-4ac= \)

\(=20^2 - 4\cdot1\cdot(-300) =\)

\(=400 + 1200 = 1600\),   \(\sqrt{D} = 40\)

\(x_1 = \frac{-20+40}{2\cdot1}= \frac{20}{2} = 10\)

\(x_1 = \frac{-20-40}{2\cdot1}= \frac{-60}{2} = -30\) - не удовлетворяет условию.

Ответ: вторая мастерская шила по \(10\) костюмов в день.

Пояснения:

Чтобы найти несколько процентов от числа, нужно проценты перевести в десятичную дробь и умножить число на эту дробь.

Всего первая мастерская должна была сшить 160 костюмов, а вторая за тот же срок — на 25% меньше, то есть 120 костюмов.

Обозначили количество костюмов, которые шьет вторая мастерская в день, за \(x\), тогда количество костюмов, которые шьет в день первая мастерская, равно \(x + 10\). У мастерских был один срок для пошива костюмов, при этом вторая мастерская выполняла задание дольше срока на 2 дня, первая — быстрее на 2 дня, поэтому составили следующее дробное рациональное уравнение:

\(\frac{160}{x+10} + 2 = \frac{120}{x} - 2\).

Алгоритм решения дробного рационального уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

После того как обе части уравнения домножили на общий знаменатель и выполнили преобразования, получили квадратное уравнение, у которого дискриминант \(D = b^2 - 4ac>0\), поэтому уравнение имеет два корня: \(10\) и \(-30\). Корень, равный \-30\), не удовлетворяет условию задачи, так как количество не может быть отрицательным числом.

Значит, вторая мастерская шила по \(10\) костюмов в день.