Упражнение 650 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(20\) мин = \(\frac{20}{60}\) ч = \(\frac13\) ч.

Составим уравнение:

\(\frac{20}{x}-\frac{20}{x+2}=\frac{1}{3}\)  \(/\times 3x(x+2)\)

ОДЗ: \(x \neq 0\)  и  \(x + 2 \neq0\)

                          \(x \neq -2\)

\(60(x+2) - 60x = x(x+2)\)

\(\cancel{60x} + 120 - \cancel{60x} = x^2 +2x\)

\(x^2 + 2x - 120 =0\)

\(a = 1\),  \(b = 2\),  \(c = -120\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=2^{2}-4\cdot1\cdot(-120)=\)

\(=4 + 480=484\),    \( \sqrt D=22\).

\( x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\).

\( x_1 = \frac{-2+22}{2\cdot1}=\frac{20}{2}=10\).

\( x_2= \frac{-2-22}{2\cdot1}=\frac{-24}{2}=-12\) - не удовлетворяет условию (\(x>0\)).

1) \(10\) км/ч - скорость второго лыжника.

2) \(10 + 2 = 12\) (км/ч) - скорость первого лыжника.

Ответ: \(12\) км/ч и \(10\) км/ч.

Пояснения:

Время в пути: \(\,t=\dfrac{S}{v}\). Для медленного и быстрого лыжников соответственно: \[ t_{1}=\frac{20}{x},\qquad t_{2}=\frac{20}{x+2}. \] По условию \(t_{1}-t_{2}=\frac13\), так как \(20\) мин = \(\frac13\) ч, откуда получено дробное рациональное уравнение:

\(\frac{20}{x}-\frac{20}{x+2}=\frac{1}{3}\).

Алгоритм решения дробного рационального уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

После того как обе части уравнения домножили на общий знаменатель и выполнили преобразования, получили полное квадратное уравнение \(x^2 + 2x - 120 =0\), у которого дискриминант больше нуля, следовательно, имеем два корня уравнения:

\(x_1 = 10\) и \(x_2 = -12\).

Отрицательный корень не подходит, так как скорость не может быть отрицательным числом.

Значит, скорость второго (медленного) лыжника равна \(10\) км/ч. Скорость первого (быстрого) лыжника на 2 км/ч больше, значит, она равна:

\(10+2=12\) (км/ч).

а) \( (x+2)^2+(x-3)^2=13 \)

\( (x^2+4x+4)+(x^2-6x+9)=13 \)

\( x^2+4x+4+x^2-6x+9-13=0 \)

 \( 2x^2-2x=0 \)

 \( 2x(x-1)=0 \)

\(x=0 \)   или   \( x-1=0 \)

                       \( x=1 \)

Ответ: \(x = 0\) или \(x = 1\).

б) \( (3x-5)^2-(2x+1)^2=24 \)

\( (9x^2-30x+25)-(4x^2+4x+1)=24 \)

\( 9x^2-30x+25-4x^2-4x-1-24=0 \)

\( 5x^2-34x=0 \)

\([ x(5x-34)=0 \)

\( x=0 \)   или   \(5x - 34 = 0\)

                       \(5x = 34\)

                       \( x=\frac{34}{5} \)

                       \( x=6,8 \)

Ответ: \(x = 0\) или \(x = 6,8\).

в) \( (x-4)(x^2+4x+16)+28=x^2(x-25) \)

\( x^3-64+28= x^3-25x^2 \)

\(\cancel{x^3}-36-\cancel{x^3}+25x^2 =0\)

\( 25x^2 -36 = 0\)

\(25x^2 = 36\)

\( x^2=\frac{36}{25} \)

\(x = \pm\sqrt {\frac{36}{25}}\)

\( x=\pm \frac{6}{5} \)

\(x = \pm1,2\)

Ответ: \(x = \pm1,2\).

г) \( (2x+1)(4x^2-2x+1)-1=1,6x^2(5x-2) \)

\((2x+1)^3 - 1 = 8x^3 -3,2x^2\)

\(\cancel{8x^3} + 1 - 1 - \cancel{8x^3} + 3,2x^2 = 0\)

\(3,2x^2 = 0\)

\(x = 0\)

Ответ: \(x = 0\).

Пояснения:

Каждое уравнение решалось через раскрытие скобок, приведение подобных членов и упрощение.

Использованные приемы и формулы:

- Квадрат суммы двух выражений:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).

- Квадрат разности двух выражений:

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).

- Сумма кубов двух выражений:

\(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 -ab +b^2\).

- Разность кубов двух выражений:

\(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 +ab +b^2\).

- Умножение одночлена на многочлен:

\(a(b+c) = ab + bc).

- Свойства степени:

\((ab)^n = a^nb^n\);

\(a^m\cdot a^n = a^{m + n}\).

- Вынесение общего множителя за скобки:

\(ax + bx = (a + b)x\).

После преобразований в пунктах а) и б) получилось неполное квадратное уравнение вида \(ax^2+bx=0\), которое решается разложением на множители, учитывая то, что произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. При этом один из корней равен нулю, а второй находится решением линейного уравнения вида \(ax = b\), которое при \(a\neq0\) имеет единственный корень \(x = \frac{a}{b}\).

После преобразований в пункте в) получилось неполное квадратное уравнение вида \(ax^2 = b\), откуда при \(a\neq0\) имеем \(x^2 = \frac{b}{a}\), тогда

\(x_{1,2} = \pm\sqrt{\frac{b}{a}}\).

После преобразований в пункте г) получилось неполное квадратное уравнение вида \(ax^2 = 0\), откуда при \(a\neq0\) имеем \(x=0\).