Упражнение 648 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть \(x\) - числитель дробь, тогда ее знаменатель - \(x + 3\). Числитель новой дроби \(x + 7\), а знаменатель - \(x + 8\). Дробь увеличилась на \(\frac12\).

Составим уравнение:

\( \frac{x+7}{x+8}=\frac{x}{x+3}+\frac12\)  \(/\times 2(x+8)(x+3)\)

ОДЗ: \(x + 8 \neq0\)  и  \(x +3 \neq0\)

         \(x \neq-8\)          \(x \neq-3\)

\( 2(x+7)(x+3)=2x(x+8)+(x+8)(x+3) \)

\(2(x^2 +3x+7x+21)=2x^2 + 16x+(x^2 + 3x+8x+24)\)

\(2(x^2 +10x+21)=2x^2 + 16x+x^2 +11x+24\)

\(2x^2+20x + 42 = 3x^2 +27x +24\)

\(2x^{2}+20x+42-3x^{2}-27x-24 =0\)

\(x^{2}+7x-18=0\)

\(a = 1\),  \(b = 7\),  \(c = -18\)

\(D = b^2 - 4ac =7^2 -4\cdot1\cdot(-18)=\)

\(=49 + 72 = 121\),    \(\sqrt D = 11\).

\( x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\).

\( x_1 = \frac{-7+11}{2\cdot1}=\frac{4}{2}=2\).

\( x_2 = \frac{-7-11}{2\cdot1}=\frac{-18}{2}=-9\).

1) \(\frac{2}{2 + 3} = \frac25\).

2) \(\frac{-9}{-9+3} = \frac{-9}{-6} = \frac{3}{2}\) - не удовлетворяет условию.

Ответ: \(\frac25\).

Пояснения:

Условие «знаменатель больше числителя на \(3\)» записали как \(\dfrac{x}{x+3}\).

«Увеличится на \(\dfrac12\)» означает: новая дробь равна старой плюс \(\dfrac12\). Получили дробное рациональное уравнение:

\( \frac{x+7}{x+8}=\frac{x}{x+3}+\frac12\).

Алгоритм решения дробного рационального уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

После того как обе части уравнения домножили на общий знаменатель, получили полное квадратное уравнение \(x^{2}+7x-18=0\), у которого дискриминант больше нуля, следовательно, имеем два корня уравнения:

\(x_1 = 2\) и \(x_2 = -9\).

Отрицательный корень не подходит, так как проверка показывает, что получается дробь, которая не удовлетворяет условию задачи:

\(\frac{-9}{-9+3} = \frac{-9}{-6} = \frac{3}{2}\).

У искомой дроби знаменатель должен быть на 3 больше числителя.

\( x^2-(4k+1)x+2(2k^2+k-3)=0 \)

\( x^2-(4k+1)x+4k^2+2k-6=0 \)

\( a=1, \quad b=-(4k+1)\),

\(c=4k^2+2k-6 \).

\( D=b^2-4ac=(4k+1)^2-4(4k^2+2k-6) =\)

\(=\cancel{16k^2}+\cancel{8k}+1-\cancel{16k^2}-\cancel{8k}+24=\)

\(=1 + 24 = 25>0 \)

\(x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\)

\( x_1=\frac{4k+1-5}{2\cdot1}=\frac{4k-4}{2}=\)

\(=\frac{\cancel2(2k-2)}{\cancel2}=2k-2 \)

\( x_2=\frac{4k+1+5}{2\cdot1}=\frac{4k+6}{2}=\)

\(=\frac{\cancel2(2k+3)}{\cancel2}=2k+3 \)

Ответ: \( x_1=2k-2\), \( x_2=2k+3\) для любого \( k. \)

Пояснения:

Уравнение квадратное, дискриминант оказался постоянным (\(D=25\)) и положительным. Это значит, что для любого значения параметра \(k\) уравнение имеет два корня, которые выражаются линейно через \(k\).