Упражнение 647 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 151

а) \(\dfrac{3ab}{a^{2}+b^{2}}\), где \(a>0,\; b<0\);

\(3ab < 0\),

\(a^2 > 0\) и \(b^2>0\), то \(a^{2}+b^{2}>0\),

\(\dfrac{3ab}{a^{2}+b^{2}}<0\).

б) \(\dfrac{5a^{3}b^{2}}{a+b}\), где \(a<0,\; b<0\).

\(a^3 < 0\) и \(b^2 >0\), то \(5a^{3}b^{2}<0\),

\(a+b<0\),

\(\dfrac{5a^{3}b^{2}}{a+b}>0\).

Пояснения:

Использованные факты:

- Квадрат любого числа отличного от нуля положителен.

- Куб отрицательного числа отрицателен.

- Произведение положительного и отрицательного чисел отрицательно.

- Сумма двух отрицательных чисел отрицательна.

- Частное отрицательного и положительного чисел отрицательно.

- Частное двух отрицательных чисел положительно.

\( (a-1)x^2+2ax+a+1=0 \)

1 случай:

\(a-1\neq 0\)

\(a\neq 1\).

\(A=a-1\), \(B=2a\), \(C=a+1\).

\( D=B^2-4AC=\)

\(=(2a)^2-4(a-1)(a+1)=\)

\(=4a^2-4(a^2-1)=\)

\(=4a^2-4a^2+4=4 >0 \)

\(\sqrt{D}=2 \)

\( x_1=\frac{-2a + 2}{2(a-1)}=\frac{-2(a - 1)}{2(a-1)}=-1 \)

\( x_2=\frac{-2a - 2}{2(a-1)}=\frac{2(-a - 1)}{2(a-1)}=\frac{-a - 1}{a-1} \)

Случай 2.

\(a-1 = 0\), то \(a = 1\)

\( 0x^2+2\cdot 1 \cdot x+1+1=0 \)

\( 2x+2=0\)

\(2x = -2\)

\(x = \frac{-2}{2}\)

\(x=-1 \)

Ответ: если \(a\neq 1\), то \(x=-1\) или \(x=\frac{-a-1}{a-1}\); если \(a=1\), то \(x=-1\).

Пояснения:

При решении уравнения мы рассмотрели два случая:

1 случай:

Когда коэффициент перед \(x^2\) отличен от нуля, то есть \(a-1\neq 0\), откуда имеем \(a\neq 1\), и в таком случае квадратное уравнение 

\( (a-1)x^2+2ax+a+1=0 \) решаем через дискриминант

\( D=B^2-4AC\), где \(A=a-1\),

\(B=2a\), \(C=a+1\) - коэффициенты квадратного уравнения. Дискриминант получается положительным числом, поэтому уравнение имеет два корня:

\( x_{1,2}=\frac{-B + \sqrt D}{2A}\), то есть

\(x=-1\) или \(x=\frac{-a-1}{a-1}\)

2 случай:

Когда коэффициент перед \(x^2\) равен нулю, то есть \(a - 1 = 0\), тогда \(a = 1\), и в этом случае квадратное уравнение \( (a-1)x^2+2ax+a+1=0 \) преобразуется в линейное:

\( 2x+2=0\), откуда \(x = -1\).