Упражнение 646 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 151

а) \( \dfrac{x-y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}-\sqrt{x}=\)

\(= \dfrac{(\sqrt{x})^2-(\sqrt{y})^2}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}-\sqrt{x}=\)

\(= \dfrac{\cancel{(\sqrt{x}-\sqrt{y})}(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{\cancel{\sqrt{x}-\sqrt{y}}}-\sqrt{x}=\)

\(=\cancel{\sqrt{x}}+\sqrt{y} - \cancel{\sqrt x}=\sqrt{y}\).

б) \(\sqrt{x} -\dfrac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=\)

\(=\sqrt{x} -\dfrac{(\sqrt{x})^2-(\sqrt{y})^2}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=\)

\(=\sqrt{x} -\dfrac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})\cancel{(\sqrt{x}+\sqrt{y})}}{\cancel{\sqrt{x}+\sqrt{y}}}=\)

\(=\sqrt{x} -(\sqrt{x} -\sqrt{y} )=\)

\(=\cancel{\sqrt{x}} -\cancel{\sqrt{x}} + \sqrt{y} =\sqrt{y}\)

Пояснения:

Использованные приемы:

- Свойство корня:

\((\sqrt x)^2 = x\).

- Разность квадратов двух выражений:

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\).

- Сокращение дробей:

\(\frac{ka}{kb} = \frac{a}{b}\).

- Противоположные выражения:

\(a - b = -(b - a)\).

\( x^2-ax+a-3=0 \)

Пусть корни уравнения: \(x_1\) и \(x_2\).

По формулам Виета:

\(x_1+x_2=a\) и \( x_1x_2=a-3 \)

\( x_1^2+x_2^2= x_1^2 +2x_1x_2+x_2^2 - 2x_1x_2 =\)

\(=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=\)

\(=a^2-2(a-3)=\)

\(=a^2-2a+6 = \)

\(=a^2 - 2a + 1 + 5 =\)

\(=(a + 1)^2 + 5\) - при \(a = 1\) значение квадратов корней будет наименьшим и равно \(5\).

Ответ: при \(a=1\) сумма квадратов корней наименьшая и равна 5.

Пояснения:

Мы использовали теорему Виета, чтобы выразить сумму квадратов корней через коэффициенты уравнения.

При преобразованиях учитывали то, что значение выражения не изменится, если к нему прибавить и вычесть одно и то же выражение, также использовали формулу квадрата суммы:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).