Упражнение 880 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\dfrac{8x^2 - 3}{5} - \dfrac{5 - 9x^2}{4} = 2\)   \(/\times 20\)

\(4(8x^2 - 3) - 5(5 - 9x^2) = 40\)

\(32x^2 - 12 - 25 + 45x^2 = 40.\)

\(77x^2 - 37 = 40\)

\(77x^2 = 40 + 37\)

\(77x^2 = 77.\)

\(x^2 = 1 \)

\(x = \pm\sqrt1\)

\(x = \pm 1.\)

Ответ: \(-1;   1\).

б) \(\dfrac{2}{x^2 - x + 1} - \dfrac{1}{x+1} = \dfrac{2x - 1}{x^3 + 1}\)

\(\dfrac{2}{x^2 - x + 1} - \dfrac{1}{x+1} = \dfrac{2x - 1}{(x+1)(x^2 - x + 1)}\) \(/\times (x + 1)(x^2-x+1)\)

ОДЗ: \(x^3 + 1 \neq 0\)

          \(x^3 \neq -1\)

          \(x \neq -1\)

\(2(x + 1)-(x^2-x+1)=2x-1\)

\(\cancel{2x} + 2 - x^2 +x-1 - \cancel{2x} + 1 =0\)

\(-x^2 + x + 2 = 0\)   \(/\times (-1)\)

\(x^2 - x - 2=0\)

\(a = 1\),  \(b = -1\),  \(c=-2\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-1)^2 - 4\cdot1\cdot(-2) = \)

\(=1 + 8 = 9\),   \(\sqrt D = 3\).

\(x_1 = \frac{-(-1) + 3}{2\cdot1} = \frac42=2\).

\(x_2 = \frac{-(-1) - 3}{2\cdot1} = \frac{-2}{2}=-1\) - не подходит по ОДЗ.

Ответ: \(x = 2.\)

в) \(\dfrac{10}{x^2 - 4} - \dfrac{3}{2x - 4} = \dfrac{1}{2}\)

\(\dfrac{10}{(x-2)(x + 2)} - \dfrac{3}{2(x - 2)} = \dfrac{1}{2}\)  \(/\times2(x-2)(x+2)\)

ОДЗ: \(x - 2 \neq 0\)  и  \(x + 2 = 0\)

         \(x \neq 2\)              \(x \neq -2\)

\(20 - 3(x+2) =(x-2)(x+2)\)

\(20 -3x -6 = x^2 - 4\)

\(14 - 3x = x^2 - 4\)

\(x^2 - 4 - 14 + 3x = 0\)

\(x^2 +3x -18 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = 3\),  \(c = -18\)

\(D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4\cdot1\cdot(-18) =\)

\( = 9 + 72 = 81\),   \(\sqrt D = 9\)

\(x_1 = \frac{-3 + 9}{2\cdot1} = \frac62 = 3\).

\(x_2 = \frac{-3 - 9}{2\cdot1} = \frac{-12}{2} = -6\).

Ответ: \(3,  -6.\)

г) \(x - \dfrac{x^2 - 17}{x - 3} = \dfrac{5}{x}\) \(/\times x(x-3)\)

ОДЗ: \(x\neq0\)  и  \(x-3\neq 0\)

                          \(x\neq3\)

\(x^2(x-3) - x(x^2 - 17) = 5(x-3)\)

\(\cancel{x^3} - 3x^2 - \cancel{x^3} + 17x = 5x - 15\)

\(-3x^2 + 17x - 5x + 15=0\)

\(-3x^2 + 12x + 15 = 0\)    \(/ : (-3)\)

\(x^2 - 4x - 5 = 0.\)

\(a = 1\),  \(b = -4\),  \(c = -5\)

\(D = b^2 - 4ac = \)

\(=(-4)^2 - 4\cdot1\cdot(-5) = \)

\(=16 + 20=36\),   \(\sqrt D = 6\).

\(x_1 = \frac{-(-4) + 6}{2\cdot1} = \frac{10}{2} = 5\).

\(x_2 = \frac{-(-4) - 6}{2\cdot1} = \frac{-2}{2} = -1\).

Ответ: \(5,\; -1.\)

Пояснения:

Уравнение в пункте а) целое. Чтобы решить его, домножаем обе части уравнения на общий знаменатель дробей, входящих в уравнение. После получаем уравнение без знаменателей, упростив которое, получаем неполное квадратное уравнение вида \(x^2 = b\), которое имеет два корня: \(x_1 = \sqrt b\) и \(x_2 = -\sqrt b\).

Уравнения из пунктов б), в) и г) дробные рациональные уравнения.

Алгоритм решения дробных рациональных уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

Полное квадратное уравнение \(ax^2 + bx + c=0\) решается через дискриминант \(D = b^2-4ac\).

Если \(D>0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\);

\(x_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\).

а) \(\begin{cases} 0,6x + 7,2 > 0, \\ 5,2 \geq 2,6x \end{cases}\)

\(\begin{cases} 0,6x > -7,2,  / : 0,6 \\ 2,6x \leq 5,2  / : 2,6 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x > -\frac{7,2}{0,6}, \\ x \leq \frac{5,2}{2,6} \end{cases}\)

\(\begin{cases} x > -\frac{72}{6}, \\ x \leq \frac{52}{26} \end{cases}\)

\(\begin{cases} x > -12, \\ x \leq 2 \end{cases}\)

Ответ: \((-12; 2]\).

б) \(\begin{cases} 1,5x + 4,5 \leq 0, \\ \tfrac{1}{9}x \geq 1  /\times9 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 1,5x \leq -4,5,   / : 1,5 \\ x \geq 9 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x \leq -\frac{4,5}{1,5}, \\ x \geq 9 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x \leq -3, \\ x \geq 9 \end{cases}\)

Ответ: решений нет.

в) \(\begin{cases} 0,2x < 3, / : 0,2 \\ \tfrac{1}{6}x > 0  /\times6 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x < \frac{3}{0,2}, \\ x > 0  \end{cases}\)

\(\begin{cases} x < \frac{30}{2}, \\ x > 0 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x < 15, \\ x > 0  \end{cases}\)

Ответ: \((0; 15)\).

г) \(\begin{cases} 2x - 6,5 < 0, \\ \tfrac{1}{3}x < -1 /\times3 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 2x < 6,5, / : 2 \\ x < -3 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x < \frac{6,5}{2}, \\ x < -3 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x < 3,25, \\ x < -3 \end{cases}\)

Ответ: \((-\infty; -3)\).

Пояснения:

Чтобы решить систему неравенств, нужно найти пересечение решений неравенств системы, то есть найти множество чисел, которое является одновременно решением и одного неравенства и решением другого неравенства. Если решения неравенств не пересекаются, то система решений не имеет.

При решении неравенств системы используем то, что:

- если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.