Упражнение 876 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\sqrt{2} + 5>2 + \sqrt{5}\)

\(\sqrt{2} + 5 - 2 >2 + \sqrt{5} - 2\)

\(\sqrt{2} + 3 >\sqrt{5} \)

\((\sqrt{2} + 3)^2 >(\sqrt{5})^2 \)

\(2 + 6\sqrt2 + 9 > 5\)

\(11 + 6\sqrt2 > 5\)

\(11 + 6\sqrt2 - 5 > 5 - 5\)

\(6 + 6\sqrt2  > 0\)

Ответ: \(\sqrt{2} + 5>2 + \sqrt{5}\).

б) \(\sqrt{3} - 4<1 - \sqrt{5}\)

\(\sqrt{3} - 4 + 4 + \sqrt{5}<1 - \sqrt{5} + 4 + \sqrt{5}\)

\(\sqrt{3} + \sqrt{5}<5\)

\((\sqrt{3} + \sqrt{5})^2<5^2\)

\(3 + 2\sqrt{15} + 5 < 25\)

\(8 + 2\sqrt{15} < 25\)

\(8 + 2\sqrt{15} - 8 < 25 - 8\)

\(2\sqrt{15} < 17\)

\((2\sqrt{15})^2 < 17^2\)

\(4\cdot15 < 289\)

\(60 < 289\)

Ответ: \(\sqrt{3} - 4 < 1 - \sqrt{5}\).

в) \(\dfrac{2\sqrt{3} + 23}{3}<9\)

\(\dfrac{2\sqrt{3} + 23}{3}\cdot3<9\cdot3\)

\(2\sqrt{3} + 23 < 27\)

\(2\sqrt{3} + 23 - 23 < 27 -23\)

\(2\sqrt{3} < 4\)

\((2\sqrt{3})^2 < 4^2\)

\(4\cdot 3 < 16\)

\(12 < 16\)

Ответ: \(\dfrac{2\sqrt{3} + 23}{3}<9\).

г) \(\dfrac{1 - \sqrt{15}}{12}>-\dfrac{7}{8}\)

\(\dfrac{1 - \sqrt{15}}{12}\cdot24>-\dfrac{7}{8}\cdot24\)

\(2(1 - \sqrt{15})>-7\cdot3.\)

\(2 - 2\sqrt{15} > -21\)

\(2 - 2\sqrt{15} + 2\sqrt{15} + 21 > -21+ 2\sqrt{15}+21\)

\(23 > 2\sqrt{15}\)

\(23^2 > (2\sqrt{15})^2\)

\(529 > 4\cdot15\)

\(529 > 60\)

Ответ: \(\dfrac{1 - \sqrt{15}}{12}>-\dfrac{7}{8}\).

Пояснения:

При сравнении чисел используем свойства неравенств:

Если к частям неравенства прибавить или вычесть одно и то же число, знак неравенства сохраняется.

Если части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, знак неравенства сохраняется.

Также помним, если \(a\) и \(b\) - положительные числа и \(a^2 > b^2\), то \(a > b\).

Используемые приемы:

- Свойство арифметического корня:

\((\sqrt a)^2 = a\).

- Свойства степени:

\((b\sqrt a)^2 = b^2a\).

- Квадрат суммы двух выражений:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).

а) \(\begin{cases} x > 17, \\ x > 12 \end{cases}\)

Ответ: \((17; +\infty)\).

б) \(\begin{cases} x < 1, \\ x < 5 \end{cases}\)

Ответ: \((-\infty; 1)\).

в) \(\begin{cases} x > 0, \\ x < 6 \end{cases}\)

Ответ: \((0; 6)\)

г) \(\begin{cases} x < -3,5, \\ x > 8 \end{cases}\)

Ответ: решений нет.

д) \(\begin{cases} x \geq -1, \\ x \leq 3 \end{cases}\)

е) \(\begin{cases} x > 8, \\ x \leq 20 \end{cases}\)

Ответ: \((8; 20]\).

Пояснения:

Чтобы решить систему неравенств, нужно найти пересечение решений неравенств системы, то есть найти множество чисел, которое является одновременно решением и одного неравенства и решением другого неравенства. Если решения неравенств не пересекаются, то система решений не имеет.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.