Упражнение 697 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\( \begin{cases} y-x^{2}=0,\\ 2x-y+3=0. \end{cases} \)

\( \begin{cases} y=x^{2},\\ y=2x+3. \end{cases} \)

\(y=x^{2}\) - парабола.

\(y=2x+3\) - прямая.

Ответ: \(\;(-1,\,1)\) и \((3,\,9)\).

Пояснения:

Суть графического метода решения системы уравнений с двумя переменными:

1) построить на одной координатной плоскости графики уравнений, входящих в систему;

2) найти координаты всех точек пересечения построенных графиков;

3) полученные пары чисел и будут искомыми решениями.

\(y = x^2\) - квадратичная функция, графиком которой является парабола. Строят график по точкам (для нескольких положительных и нескольких отрицательных значений \(x\) определяют значения \(y\)).

\(y=kx+b\) - линейная функция, графиком которой является прямая. Для построения прямой достаточно двух точек.

а) \(\dfrac{6}{y+1}+\dfrac{y}{y-2}=\dfrac{6}{y+1}\cdot\dfrac{y}{y-2}\)

\(\dfrac{6}{y+1}+\dfrac{y}{y-2}=\dfrac{6y}{(y+1)(y-2)}\)  \(/\times(y+1)(y-2)\)

ОДЗ:

\(y + 1 \neq 0\)   и   \(y - 2 \neq 0\)

\(y \neq -1\)            \(y \neq 2\)

\(6(y-2) + y(y+1) = 6y\)

\(6y - 12 + y^2 + y - 6y = 0\)

\(y^2 +y-12 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = 1\),  \(c = -12\)

\(D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4\cdot1\cdot(-12) = \)

\( = 1 + 48 = 49\),     \(\sqrt D = 7\).

\(y_1=\dfrac{-1 + 7}{2\cdot1}=\dfrac62=3\).

\(y_2=\dfrac{-1 - 7}{2\cdot1}=\dfrac{-8}{2}=-4.\)

Ответ: \(y=3, \; -4.\)

б) \(\dfrac{2}{y-3}+\dfrac{6}{y+3}=\dfrac{2}{y-3} : \dfrac{6}{y+3}\)

\(\dfrac{2}{y-3}+\dfrac{6}{y+3}=\dfrac{\cancel2}{y-3} \cdot \dfrac{y+3}{\cancel6_3}\)

\(\dfrac{2}{y-3}+\dfrac{6}{y+3}=\dfrac{y+3}{3(y-3)}\) \(/\times 3(y+3)(y-3)\)

ОДЗ:

\(y + 3 \neq 0\)   и   \(y - 3 \neq 0\)

\(y \neq -3\)            \(y \neq 3\)

\(6(y + 3) +18(y-3) = (y+3)^2\)

\(6y + 18 +18y - 54 = y^2 +6y + 9\)

\(6y + 18 +18y - 54 - y^2 -6y - 9=0\)

\(-y^2 + 18y - 45 = 0\)   \(/\times(-1)\)

\(y^2 - 18y + 45 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -18\),  \(c = 45\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-18)^2 - 4\cdot1\cdot45=\)

\(= 324 + 180 = 144,\)     \(\sqrt D = 12\).

\(y_1=\dfrac{-(-18) + 12}{2\cdot1}=\dfrac{30}{2}=15\).

\(y_2=\dfrac{-(-18) - 12}{2\cdot1}=\dfrac{6}{2}=3\) - не подходит по ОДЗ.

Ответ: \(y=15.\)

в) \(\dfrac{y+12}{y-4}-\dfrac{y}{y+4}=\dfrac{y+12}{y-4}\cdot\dfrac{y}{y+4}\)

\(\dfrac{y+12}{y-4}-\dfrac{y}{y+4}=\dfrac{y(y+12)}{(y-4)(y+4)}\) \(/\times (y-4)(y+4)\)

ОДЗ:

\(y - 4 \neq 0\)   и   \(y + 4 \neq0\)

\(y \neq 4\)               \(y \neq -4\)

\((y + 12)(y+4) - y(y-4) = y(y + 12)\)

\(\cancel{y^2} + 4y + 12y + 48 - \cancel{y^2} +4y = y^2 + 12y\)

\(4y + \cancel{12y} + 48+4y - y^2 - \cancel{12y} = 0\)

\(-y^2 + 8y + 48 = 0\)    \(/\times(-1)\)

\(y^2 - 8y - 48 = 0\)

\(a = 1\),  \(b = -8\),  \(c = -48\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-8)^2 -4\cdot1\cdot(-48)=\)

\(= 64 + 192 = 256\),    \(\sqrt D = 16\).

\(y_1=\dfrac{-(-8) + 16}{2\cdot1}=\dfrac{24}{2}=12\).

\(y_2=\dfrac{-(-8) - 16}{2\cdot1}=\dfrac{-8}{2}=-4\) - не подходит по ОДЗ.

Ответ: \(y=12.\)

Пояснения:

В каждом случае по условию составили дробное рациональное уравнение.

Алгоритм решения уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение (предварительно, если возможно, разложить все знаменатели на множители);

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

Решение целых уравнений:

1) Полное квадратное уравнение \(ax^2 + bx + c=0\), которое решается через дискриминант \(D = b^2-4ac\).

– если \(D>0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\);

\(x_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\).

– если \(D=0\), то уравнение имеет один корень:

\(x=-\frac {b}{2a}\).

2) Линейное уравнение вида \(ax = b\), которое при \(a\neq0\) имеет единственный корень \(x = \frac{a}{b}\).

Разность квадратов:

\(a^2 - b^2 = (a-b)(a + b)\).

Квадрат суммы двух выражений:

\((a +b)^2 = a^2 + 2ab +b^2\).